（本小题满分12分）如图5，中，点在线段上，且，（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求的面积．
在 ∆ A B C 中，内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，且 b sin A = 3 a cos B 。 （1）求角 B 的大小； （2）若 b = 3 , sin C = 2 sin A ，求 a , c 的值
定义：曲线 C 上的点到直线l的距离的最小值称为曲线 C 到直线l的距离，已知曲线 C 1 : y = x 2 + a 到直线 l : y = x 的距离等于曲线 C 2 : x 2 + ( y + 4 ) 2 = 2 到直线 l : y = x 的距离，则实数 a =
已知函数 f ( x ) = x - ln ( x + a ) 的最小值为0，其中 a > 0
（Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）若对任意的 x ∈ [ 0 , + ∞ ) 有 f ( x ) ≤ k x 2 成立，求实数 k 的最小值； （Ⅲ）证明 ∑ i = 1 n 2 2 i - 1 - ln ( 2 n + 1 ) < 2 , ( n ∈ N * ) .
设椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的左、右顶点分别为 A , B ，点 P 在椭圆上且异于 A , B 两点， O 为坐标原点. （Ⅰ）若直线 A P 与 B P 的斜率之积为 - 1 2 ，求椭圆的离心率； （Ⅱ）若 A P = O A ，证明直线 O P 的斜率 k 满足 k > 3
已知 a n 是等差数列，其前 n 项和为 S n ， b n 是等比数列，且 a 1 = b 1 = 2 , a 4 + b 4 = 27 ， S 4 - b 4 = 10 . （Ⅰ）求数列 a n 与 b n 的通项公式； （Ⅱ）记 T n = a n b 1 + a n - 1 b 2 + ⋯ + a 1 b n ， n ∈ N * ，证明 T n + 12 = - 2 a n + 10 b n （ n ∈ N * ）.
中，
在线
段
上，且
，
的长；
的面积．
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