已知数列{an}的各项均为正数，bnn(11n)an,(n&

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度困难
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已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数， $b_{n} = n (1 + \frac{1}{n}) a_{n}, (n \in N_{+})$ ， $e$ 为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数 $f (x) = 1 + x - e^{x}$ 的单调区间，并比较 $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ 与 $e$ 的大小；
（Ⅱ）计算 $\frac{b_{1}}{a_{1}}, \frac{b_{1} b_{2}}{a_{1} a_{2}}, \frac{b_{1} b_{2} b_{3}}{a_{1} a_{2} a_{3}}$ ，由此推测计算 $\frac{b_{1} b_{2} . . . b_{n}}{a_{1} a_{2} . . . a_{n}}$ 的公式，并给出证明；
（Ⅲ）令 $c_{n} = (a_{1} a_{2} . . . a_{n})^{\frac{1}{n}}$ ，数列 ${a_{n}}$ ， ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别记为 $S_{n}, T_{n}$ , 证明： $T_{n} < e S_{n}$ ．

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