如图,抛物线与轴交于(,0)、(,0)两点,且,与轴交于点,其中是方程的两个根。(1)求抛物线的解析式;(2)点是线段上的一个动点,过点作∥,交于点,连接,当的面积最大时,求点的坐标;(3)点在(1)中抛物线上,点为抛物线上一动点,在轴上是否存在点,使以为顶点的四边形是平行四边形,如果存在,求出所有满足条件的点的坐标,若不存在,请说明理由。
解方程: x + 1 x - 1 - 4 x 2 - 1 = 1 .
解不等式组: 3 x - 1 ⩾ x + 1 x + 4 < 4 x - 2 .
计算: 8 3 + | - 6 | - 2 2 .
如图,在平面直角坐标系 xOy 中,正比例函数 y = kx ( k ≠ 0 ) 和二次函数 y = - 1 4 x 2 + bx + 3 的图象都经过点 A ( 4 , 3 ) 和点 B ,过点 A 作 OA 的垂线交 x 轴于点 C . D 是线段 AB 上一点(点 D 与点 A 、 O 、 B 不重合), E 是射线 AC 上一点,且 AE = OD ,连接 DE ,过点 D 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F ,以 DE 、 DF 为邻边作 ▱ DEGF .
(1)填空: k = , b = ;
(2)设点 D 的横坐标是 t ( t > 0 ) ,连接 EF .若 ∠ FGE = ∠ DFE ,求 t 的值;
(3)过点 F 作 AB 的垂线交线段 DE 于点 P 若 S ΔDFP = 1 3 S ▱ DEGF ,求 OD 的长.
在平面直角坐标系 xOy 中,对于 A 、 A ' 两点,若在 y 轴上存在点 T ,使得 ∠ ATA ' = 90 ° ,且 TA = TA ' ,则称 A 、 A ' 两点互相关联,把其中一个点叫做另一个点的关联点.已知点 M ( - 2 , 0 ) 、 N ( - 1 , 0 ) ,点 Q ( m , n ) 在一次函数 y = - 2 x + 1 的图象上.
(1)①如图,在点 B ( 2 , 0 ) 、 C ( 0 , - 1 ) 、 D ( - 2 , - 2 ) 中,点 M 的关联点是 B (填" B "、" C "或" D " ) ;
②若在线段 MN 上存在点 P ( 1 , 1 ) 的关联点 P ' ,则点 P ' 的坐标是 ;
(2)若在线段 MN 上存在点 Q 的关联点 Q ' ,求实数 m 的取值范围;
(3)分别以点 E ( 4 , 2 ) 、 Q 为圆心,1为半径作 ⊙ E 、 ⊙ Q .若对 ⊙ E 上的任意一点 G ,在 ⊙ Q 上总存在点 G ' ,使得 G 、 G ' 两点互相关联,请写出点 Q 的坐标.