如图，将△ABC的顶点A放在⊙O上，现从AC与⊙O相切于点A

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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2011年初中毕业升学考试（江西卷）数学

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如图，将△ABC的顶点A放在⊙O上，现从AC与⊙O相切于点A（如图1）的
位置开始，将△ABC绕着点A顺时针旋转，设旋转角为（0°<<120°），旋转后AC，AB
分别与⊙O交于点E,F，连接EF（如图2）. 已知∠BAC=60°，∠C=90°，AC=8，⊙O的直
径为8.
(1)在旋转过程中，有以下几个量：①弦EF的长②弧EF的长③∠AFE的度数 ④点O到
EF的距离.其中不变的量是（填序号）；
(2)当BC与⊙O相切时，请直接写出的值，并求此时△AEF的面积.

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如图，在平面直角坐标系中，把矩形 $OABC$ 沿对角线 $AC$ 所在直线折叠，点 $B$ 落在点 $D$ 处， $DC$ 与 $y$ 轴相交于点 $E$ ，矩形 $OABC$ 的边 $OC$ ， $OA$ 的长是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 12 x + 32 = 0$ 的两个根，且 $OA > OC$ ．

（1）求线段 $OA$ ， $OC$ 的长；

（2）求证： $ΔADE ≅ ΔCOE$ ，并求出线段 $OE$ 的长；

（3）直接写出点 $D$ 的坐标；

（4）若 $F$ 是直线 $AC$ 上一个动点，在坐标平面内是否存在点 $P$ ，使以点 $E$ ， $C$ ， $P$ ， $F$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出 $P$ 点的坐标；若不存在，请说明理由．

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（1） $a =$ 　　， $b =$ 　　， $m =$ 　　；

（2）若小军的速度是120米 $/$ 分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；

（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？

（4）若小军的行驶速度是 $v$ 米 $/$ 分，且在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地），请直接写出 $v$ 的取值范围．

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（1）表中 $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）请补全频数分布直方图中空缺的部分；

（3）样本中，学生日阅读所用时间的中位数落在第　　组；

（4）请估计该校七年级学生日阅读量不足1小时的人数．

组别	时间段（小时）	频数	频率
1	$0 ⩽ x < 0.5$	10	0.05
2	$0.5 ⩽ x < 1.0$	20	0.10
3	$1.0 ⩽ x < 1.5$	80	$b$
4	$1.5 ⩽ x < 2.0$	$a$	0.35
5	$2.0 ⩽ x < 2.5$	12	0.06
6	$2.5 ⩽ x < 3.0$	8	0.04