过点 $C(0,1)$的椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，椭圆与 $x$轴交于两点 $A(a,0)$、 $B(-a,0)$，过点 $C$的直线 $l$与椭圆交于另一点 $D$，并与 $x$轴交于点 $P$，直线 $AC$与直线 $BD$交于点 $Q$．

（I）当直线 $l$过椭圆右焦点时，求线段 $CD$的长；
（Ⅱ）当点 $P$异于点 $B$时，求证： $\stackrel{\rightharpoonup }{OP}·\stackrel{\rightharpoonup }{OQ}$