以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中经 X 表示. (Ⅰ)如果 X = 8 ,求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (Ⅱ)如果 X = 9 ,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为19的概率. (注:方差 s 2 = 1 n [ ( x 1 - x ) 2 + ( x 2 - x ) 2 + . . . + ( x n - x ) 2 ] ,其中 x 为 x 1 , x 2 , . . . x n 的平均数)
如图,港口A北偏东30°方向的C处有一检查站,港口正东方向的B处有一轮船,距离检查站31海里,该轮船从B处沿正西方向航行20海里后到达D处观测站,已知观测站与检查站距离21海里,问此时轮船离港口A还有多远?
已知函数()均在函数的图象上。 (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)令证明:
(本小题满分14分)已知函数, (1)求函数的单调区间,并判断是否有极值; (2)若对任意的,恒有成立,求的取值范围; (3)证明:().
(本小题满分12分)设是圆上的动点,点是点在轴上的投影,为上一点,且. (1)求证:点的轨迹是椭圆; (2)设(Ⅰ)中椭圆的左焦点为,过点的直线交椭圆于两点,为线段的中点,当三角形(为坐标原点)的面积最大时,求直线的方程.
(本小题满分1 2分)如图,梯形中,于,于,且,现将,分别沿与翻折,使点与点重合. (1)设面与面相交于直线,求证:; (2)试类比求解三角形的内切圆(与三角形各边都相切)半径的方法,求出四棱锥的内切球(与四棱锥各个面都相切)的半径.