以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中经 X 表示. (Ⅰ)如果 X = 8 ,求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (Ⅱ)如果 X = 9 ,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为19的概率. (注:方差 s 2 = 1 n [ ( x 1 - x ) 2 + ( x 2 - x ) 2 + . . . + ( x n - x ) 2 ] ,其中 x 为 x 1 , x 2 , . . . x n 的平均数)
(本小题满分12分)已知函数其中为常数,函数和的图象在它们与坐标轴交点的切线互相平行. (1)求函数的单调区间; (2)若不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围.
(本小题满分12分)已知,动点满足,设的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程; (2)过的直线与曲线交于、两点,过与平行的直线与曲线交于、两点,求四边形的面积的最大值.
(本小题满分12分)如图,在三棱锥中,底面为直角三角形,且,底面,且,点是的中点,且交于点. (1)求证:平面; (2)当时,求二面角的余弦值.
(本小题满分12分)某工厂生产、两种元件,某质量按测试指标划分,指标大于或等于82为正品,小于82为次品,现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如下: (1)试依据以频率估计概率的统计思想,分别估计元件,元件为正品的概率; (2)生产一件元件,若是正品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产一件元件,若是正品可盈利50元,若是次品则亏损10元,在(1)的前提下: (i)记为生产一件元件和1件元件所得的总利润,求随机变量的分布列和数学期望; (ii)求生产5件元件所获得的利润不少于140元的概率.
(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列的前项和为,对任意,总有成等差数列. (1)求数列的通项公式; (2)令,求数列的前项和.