已知椭圆的上、下顶点分别为是椭圆上两个不同的动点．(I)求直

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知椭圆的上、下顶点分别为是椭圆上两个不同的动点．
(I)求直线与交点的轨迹C的方程；
(Ⅱ)若过点F(0，2)的动直线z与曲线C交于A、B两点，问在y轴上是否存在定点E，使得?若存在，求出E点的坐标；若不存在，说明理由．

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已知函数 $f (x) = (x^{2} + b x + b) \sqrt{1 - 2 x} (b \in R)$ .
（1）当 $b = 4$ 时，求 $f (x)$ 的极值；
（2）若 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{1}{3})$ 上单调递增，求 $b$ 的取值范围.

题型：未知
难度：未知

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已知首项都是1的两个数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ （ $b_{n} \neq 0, n \in N^{+}$ ），满足 $a_{n} b_{n + 1} - a_{n + 1} b_{n} + 2 b_{n + 1} b_{n} = 0$ .
（1）令 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的通项公式；
（2）若 $b_{n} = 3^{n - 1}$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$

题型：未知
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已知函数 $f (x) = \sin (x + θ) + a \cos (x + 2 θ)$ ，其中 $a \in R, θ \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

（1）当 $a = \sqrt{2}, θ = \frac{π}{4}$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[0, π]$ 上的最大值与最小值；
（2）若 $f (\frac{π}{2}) = 0, f (π) = 1$ ，求 $a, θ$ 的值.

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设函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} + 2 x + k)^{2} + 2 (x^{2} + 2 x + k) - 3}}$ ，其中 $k < - 2$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的定义域 $D$ （用区间表示）；
（2）讨论函数 $f (x)$ 在 $D$ 上的单调性；
（3）若 $k < - 6$ ，求 $D$ 上满足条件 $f (x) > f (1)$ 的 $x$ 的集合（用区间表示）.

题型：未知
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已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $(\sqrt{5}, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ .
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）若动点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为椭圆外一点，且点 $P$ 到椭圆 $C$ 的两条切线相互垂直，求点 $P$ 的轨迹方程.

题型：未知
难度：未知

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