（本小题满分12分）某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分12分）
某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元，假设座位等距离分布，且至少有四个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为元.
（Ⅰ）试写出关于的函数关系式，并写出定义域；
（Ⅱ）当米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？

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设 $m \in R$ ,在平面直角坐标系中,已知向量 $\overset{⇀}{a} = (m x, y + 1)$ ,向量 $\overset{⇀}{b} = (x, y - 1)$ , $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ,动点 $M (x, y)$ 的轨迹为 $E$ ．
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；
（2）已知 $m = \frac{1}{4}$ ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点 $A, B$ ,且 $O A ⊥ O B$ （ $O$ 为坐标原点）,并求出该圆的方程；
（3）已知 $m = \frac{1}{4}$ ,设直线 $l$ 与圆C: $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ （ $1 < R < 2$ ）相切于 $A_{1}$ ,且 $l$ 与轨迹E只有一个公共点 $B_{1}$ ,当 $R$ 为何值时, $| A_{1} B_{1} |$ 取得最大值?并求最大值．