港口北偏东方向的处有一检查站，港口正东方向的处有一轮船，距离

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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港口北偏东方向的处有一检查站，港口正东方向的处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从处沿正西方向航行20海里后到达处观测站，已知观测站与检查站距离21海里，问此时轮船离港口还有多远？

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已知函数 $f (x) = π (x - \cos x) - 2 \sin x - 2$ , $g (x) = (x - π) \sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}} + \frac{2 x}{π} - 1$ .证明：

（1）存在唯一 $x_{0} \in (0, \frac{π}{2})$ ,使 $f (x_{0}) = 0$ ；
（2）存在唯一 $x_{1} \in (\frac{π}{2}, π)$ ,使 $g (x_{1}) = 0$ ,且对(1)中的 $x_{0} + x_{1} > π$ .

题型：未知
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圆的切线与轴正半轴，轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为（如图）.
（1）求点的坐标；
（2）焦点在轴上的椭圆过点，且与直线交于A，B两点，若的面积为2，求C的标准方程.

题型：未知
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如图， $△ A B C$ 和 $△ B C D$ 所在平面互相垂直，且 $A B = B C = B D = 2$ ， $∠ A B C = ∠ D B C = 120^{°}$ ， $E, F, G$ 分别为 $A C, D C, A D$ 的中点.
（1）求证： $E F ⊥$ 平面 $B C G$ ；
（2）求三棱锥 $D - B C G$ 的体积.
附：椎体的体积公式 $V = \frac{1}{3} S h$ ，其中 $S$ 为底面面积， $h$ 为高.

题型：未知
难度：未知

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某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为"南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异"；
（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.

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在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边 $a, b, c$ ，且，已知 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 2$ ， $\cos B = \frac{1}{3}, b = 3$ ，求：
（1） $a$ 和 $c$ 的值；
（2） $\cos (B - C)$ 的值.

题型：未知
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