（本小题满分12分）已知（其中，为实数）．（I）若在处取得极

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分12分）
已知（其中，为实数）．
（I）若在处取得极值为2，求、的值；
（II）若在区间上为减函数且，求的取值范围．

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（本小题共13分）
已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，
（Ⅰ）求这个组合体的体积；
（Ⅱ）若组合体的底部几何体记为，其中为正方形.
（i）求证：；
（ii）求证：为棱上一点，求的最小值.

题型：未知
难度：未知

（本小题共13分）
如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船.
（Ⅰ）求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；
（Ⅱ）设乙船沿直线方向前往处救援，其方向与成角，
求 (x∈)的值域.

题型：未知
难度：未知

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如图， $F$ 为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点。 $P$ 为双曲线 $C$ 右支上一点，且位于 $x$ 轴上方， $M$ 为左准线上一点， $O$ 为坐标原点。已知四边形 $O F P M$ 为平行四边形， $|P F| = λ |O F|$ .

（Ⅰ）写出双曲线 $C$ 的离心率 $e$ 与 $λ$ 的关系式；
（Ⅱ）当 $λ = 1$ 时，经过焦点 $F$ 且品行于 $O P$ 的直线交双曲线于 $A$ 、 $B$ 点，若 $|A B| = 12$ ，求此时的双曲线方程.

题型：未知
难度：未知

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数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = \frac{1}{2}, S_{n} = n^{2} a_{n} - n (n - 1), n = 1, 2 \dots$

（Ⅰ）写出 $S_{n}$ 与 $S_{n - 1}$ 的递推关系式 $(n \geq 2)$ ，并求 $S_{n}$ 关于 $n$ 的表达式；

（Ⅱ）设 $f_{n} (x) = \frac{S_{n}}{n} x^{n + 1}, b_{n} = f_{n} (p) (p \in R)$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

题型：未知
难度：未知

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已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上有定义，对任何实数 $a > 0$ 和任何实数 $x$ ，都有 $f (a x) = a f (x)$

（Ⅰ）证明 $f (0) = 0$ ；

（Ⅱ）证明 $f (x) = \{\begin{cases} k x, x \geq 0 \\ h x, x < 0 \end{cases}$ ,其中 $k$ 和 $h$ 均为常数；
（Ⅲ）当（Ⅱ）中的 $k > 0$ 时，设 $g (x) = \frac{1}{f (x)} + f (x) (x > 0)$ ，讨论 $g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 内的单调性并求极值.

题型：未知
难度：未知

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