数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$，已知 $a_1=\frac{1}{2},S_n=n^2{a}_n-n(n-1),n=1,2\dots$

（Ⅰ）写出 $S_n$与 $S_{n-1}$的递推关系式 $(n\ge 2)$，并求 $S_n$关于 $n$的表达式；

（Ⅱ）设 $f_n\left(x\right)=\frac{S_n}{n}{x}^{n+1},b_n=f_n\left(p\right)(p\in R)$，求数列 $\left\{b_n\right\}$的前 $n$项和 $T_n$.