如图， $F$ 为双曲线 $C$ ： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>0,b>0\right)$ 的右焦点。 $P$ 为双曲线 $C$ 右支上一点，且位于 $x$ 轴上方， $M$ 为左准线上一点， $O$ 为坐标原点。已知四边形 $OFPM$ 为平行四边形， $\left|PF\right|=\lambda \left|OF\right|$ .

（Ⅰ）写出双曲线 $C$ 的离心率 $e$ 与 $\lambda$ 的关系式；
（Ⅱ）当 $\lambda =1$ 时，经过焦点 $F$ 且品行于 $OP$ 的直线交双曲线于 $A$ 、 $B$ 点，若 $\left|AB\right|=12$ ，求此时的双曲线方程.