已知函数. (1)当时,求在区间上的最大值和最小值; (2)如果函数,,,在公共定义域D上,满足,那么就称为为的“活动函数”. 已知函数,. ①若在区间上,函数是,的“活动函数”,求的取值范围; ②当时,求证:在区间上,函数,的“活动函数”有无穷多个.
设函数 f x = ln x - a x , g x = e x - a x ,其中 a 为实数.
(1)若 f x 在 1 , + ∞ 上是单调减函数,且 g x 在 1 , + ∞ 上有最小值,求 a 的取值范围; (2)若 g x 在 - 1 , + ∞ 上是单调增函数,试求 f x 的零点个数,并证明你的结论.
设 { a n } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列( d ≠ 0 ), S n 是前 n 项和. 记 b n = n S n n 2 + c , n ∈ N + ,其中 c 为实数. (1)若 c = 0 ,且 b 1 , b 2 , b 4 成等比数列,证明: S n k = n 2 S k ( k , n ∈ N + ) ; (2)若 { b n } 是等差数列,证明 c = 0 .
如图,旅客从某旅游区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C ,另一种从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C .现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 A C 匀速步行,速度为50 m / m i n ,在甲出发2 m i n 后,乙从 A 乘缆车到 B ,在 B 处停留1 m i n 后,再从 B 匀速步行到 C . 假设缆车匀速直线运动的速度为130 m / m i n ,山路 A C 长1260 m ,经测量, cos A = 12 13 , cos C = 3 5 .
(1)求索道 A B 的长; (2)问乙出发后多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
如图,在平面直角坐标系 x O y 中,点 A ( 0 , 3 ) ,直线 l : y = 2 x - 4 ,设圆 C 的半径为1, 圆心在 l 上.
(1)若圆心 C 也在直线 y = x - 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 M A = 2 M O ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.
如图,在三棱锥 S - A B C 中,平面 S A B ⊥ 平面 S B C , A B ⊥ B C , A S = A B . 过点 A 作 A F ⊥ S B ,垂足为 F ,点 E , G 分别为棱 S A , S C 的中点.
求证:(1)平面 E F G ⊥ 平面 A B C ; (2) B C ⊥ S A .