已知函数. (1)当时,求在区间上的最大值和最小值; (2)如果函数,,,在公共定义域D上,满足,那么就称为为的“活动函数”. 已知函数,. ①若在区间上,函数是,的“活动函数”,求的取值范围; ②当时,求证:在区间上,函数,的“活动函数”有无穷多个.
已知函数 f ( x ) = 4 tanxsin ( π 2 - x ) cos ( x - π 3 ) - 3 .
(1)求 f ( x ) 的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间 [ - π 4 , π 4 ] 上的单调性.
已知,椭圆C以过点, A 1 , 3 2 ,两个焦点为 - 1 , 0 1 , 0 。
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值。
设 f ( x ) = e x ( a x 2 + x + 1 ) ,且曲线 y = f x 在 x = 1 处的切线与x轴平行。
(Ⅰ)求 a 的值,并讨论 f x 的单调性;
(Ⅱ)证明:当 θ ∈ [ 0 , π 2 ] 时, f ( cos θ ) - f ( sin θ ) < 2
某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm)的值落在(29.94,30.06)的零件为优质品。从两个分厂生产的零件中个抽出500件,量其内径尺寸,的结果如下表:
(Ⅰ)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率;
(Ⅱ)由于以上统计数据填下面 2 × 2 列联表,并问是否有99%的把握认为"两个分厂生产的零件的质量有差异"。
附: x 2 = n ( n 11 n 22 - n 12 n 21 ) 2 n 1 + n 2 + n + 1 n + 2 , p ( x 2 ≥ k ) k 0 . 05 0 . 01 3 . 841 6 . 635
如图,已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点。
(Ⅰ)若 CD = 2 , 平面 ABCD ⊥ 平面 DCEF ,求直线MN的长;
(Ⅱ)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线。