已知函数. (1)当时,求在区间上的最大值和最小值; (2)如果函数,,,在公共定义域D上,满足,那么就称为为的“活动函数”. 已知函数,. ①若在区间上,函数是,的“活动函数”,求的取值范围; ②当时,求证:在区间上,函数,的“活动函数”有无穷多个.
在 △ ABC 中, 内角 A , B , C 对边分别为 sin A : sin B : sin C = 2 : 1 : 2 , b = 2 .
(1) 求 a 的值.
(2) 求 cos C 的值.
(3) 求 sin 2 C - π 6 的值.
若无穷数列 { a n } 满足:只要 a p = a q ( p , q ∈ N * ) ,必有 a p + 1 = a q + 1 ,则称 { a n } 具有性质 P .
(1)若 { a n } 具有性质 P ,且 a 1 = 1 , a 2 = 2 , a 4 = 3 , a 5 = 2 , a 6 + a 7 + a 8 = 21 ,求 a 3 ;
(2)若无穷数列 { b n } 是等差数列,无穷数列 { c n } 是公比为正数的等比数列, b 1 = c 5 = 1 ; b 5 = c 1 = 81 , a n = b n + c n ,判断 { a n } 是否具有性质 P ,并说明理由;
(3)设 { b n } 是无穷数列,已知 a n + 1 = b n + sin a n ( n ∈ N * ) ,求证:“对任意 a 1 , { a n } 都具有性质 P ”的充要条件为“ { b n } 是常数列”.
已知 a ∈ R ,函数 f ( x ) = log 2 ( 1 x + a ) .
(1)当 a = 5 时,解不等式 f ( x ) > 0 ;
(2)若关于 x 的方程 f ( x ) - log 2 [ ( a - 4 ) x + 2 a - 5 ] = 0 的解集中恰好有一个元素,求 a 的取值范围.
(3)设 a > 0 ,若对任意 t ∈ [ 1 2 , 1 ] ,函数 f ( x ) 在区间 [ t , t + 1 ] 上的最大值与最小值的差不超过1,求 a 的取值范围.
双曲线 x 2 - y 2 b 2 = 1 ( b > 0 ) 的左、右焦点分别为 F 1 , F 2 ,直线 l 过 F 2 且与双曲线交于 A , B 两点.
(1)直线 l 的倾斜角为 π 2 ,△ F 1 AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;
(2)设 b = 3 ,若 l 的斜率存在,且 ( F 1 A ⃗ + F 1 B ⃗ ) · AB ⃗ = 0 ,求 l 的斜率.
有一块正方形 EFGH , EH 所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到 F 点或河边运走.于是,菜地分别为两个区域 S 1 和 S 2 ,其中 S 1 中的蔬菜运到河边较近, S 2 中的蔬菜运到 F 点较近,而菜地内 S 1 和 S 2 的分界线 C 上的点到河边与到 F 点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点 O 为 EF 的中点,点 F 的坐标为 ( 1 , 0 ) ,如图
(1)求菜地内的分界线 C 的方程;
(2)菜农从蔬菜运量估计出 S 1 面积是 S 2 面积的两倍,由此得到 S 1 面积的经验值为 8 3 .设 M 是 C 上纵坐标为1的点,请计算以 EH 为一边,另一边过点 M 的矩形的面积,及五边形 EOMGH 的面积,并判断哪一个更接近于 S 1 面积的“经验值”.