已知函数. (1)当时,求在区间上的最大值和最小值; (2)如果函数,,,在公共定义域D上,满足,那么就称为为的“活动函数”. 已知函数,. ①若在区间上,函数是,的“活动函数”,求的取值范围; ②当时,求证:在区间上,函数,的“活动函数”有无穷多个.
((本小题满分12分)如图,已知两定点,和定直线:,动点在直线上的射影为,且.(Ⅰ)求动点的轨迹的方程并画草图;(Ⅱ)是否存在过点的直线,使得直线与曲线相交于, 两点,且△的面积等于?如果存在,请求出直线的方程;如果不存在,请说明理由.
((本小题满分12分)如图,已知,,,,.(Ⅰ)求证:; (Ⅱ) 若,求二面角 的余弦值.
(本小题满分12分)某市为了对学生的数理(数学与物理)学习能力进行分析,从10000名学生中随机抽出100位学生的数理综合学习能力等级分数(6分制)作为样本,分数频数分布如下表:
(Ⅰ)如果以能力等级分数大于4分作为良好的标准,从样本中任意抽取2名学生,求恰有1名学生为良好的概率;(Ⅱ)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间的中点值为1.5)作为代表:(ⅰ)据此,计算这100名学生数理学习能力等级分数的期望及标准差(精确到0.1);(ⅱ) 若总体服从正态分布,以样本估计总体,估计该市这10000名学生中数理学习能力等级在范围内的人数 .(Ⅲ)从这10000名学生中任意抽取5名同学,他们数学与物理单科学习能力等级分数如下表:(ⅰ)请画出上表数据的散点图;(ⅱ)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程(附参考数据:)
(本小题满分12分)已知函数, .(Ⅰ)求函数的最大值和最小值;(Ⅱ)设函数在上的图象与轴的交点从左到右分别为M,N,图象的最高点为P, 求向量与夹角的余弦值.
(本小题满分12分)如图,已知在坐标平面xOy内,M、N是x轴上关于原点O对称的两点,P是上半平面内一点,△PMN的面积为,点A的坐标为(1+), =m· (m为常数),(1)求以M、N为焦点且过点P的椭圆方程;(2)过点B(-1,0)的直线l交椭圆于C、D两点,交直线x=-4于点E,点B、E分的比分别为λ1、λ2,求λ1+λ2的值。