如图，在平面直角坐标系
中，抛物线
向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线
.所得抛物线与
轴交于
两点（点
在点
的左边），与
轴交于点
，顶点为
.
（1）求
的值；
（2）判断
的形状，并说明理由；
（3）在线段
上是否存在点
，使
与
相似.若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
江苏省第十九届运动会将于2018年9月在扬州举行开幕式，某校为了了解学生“最喜爱的省运会项目”的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，规定每人从“篮球”、“羽毛球”、“自行车”、“游泳”和“其他”五个选项中必须选择且只能选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．
最喜爱的省运会项目的人数调查统计表
最喜爱的项目 |
人数 |
篮球 |
20 |
羽毛球 |
9 |
自行车 |
10 |
游泳 |
|
其他 |
|
合计 |
根据以上信息，请回答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 ， ．
（2）扇形统计图中“自行车”对应的扇形的圆心角为 ．
（3）若该校有1200名学生，估计该校最喜爱的省运会项目是篮球的学生人数．
如图①，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 、 两点，且与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于 轴，并沿 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于 、 两点（点 在点 的左侧），连接 ，在线段 上方抛物线上有一动点 ，连接 、 ．
（Ⅰ）若点 的横坐标为 ，求 面积的最大值，并求此时点 的坐标；
（Ⅱ）直尺在平移过程中， 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．
【发现】如图①，已知等边 ，将直角三角板的 角顶点 任意放在 边上（点 不与点 、 重合），使两边分别交线段 、 于点 、 ．
（1）若 ， ， ，则 ；
（2）求证： ．
【思考】若将图①中的三角板的顶点 在 边上移动，保持三角板与边 、 的两个交点 、 都存在，连接 ，如图②所示，问：点 是否存在某一位置，使 平分 且 平分 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【探索】如图③，在等腰 中， ，点 为 边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点 处（其中 ，使两条边分别交边 、 于点 、 （点 、 均不与 的顶点重合），连接 ．设 ，则 与 的周长之比为 （用含 的表达式表示）．
如图，在以线段 为直径的 上取一点 ，连接 、 ．将 沿 翻折后得到 ．
（1）试说明点 在 上；
（2）在线段 的延长线上取一点 ，使 ．求证： 为 的切线；
（3）在（2）的条件下，分别延长线段 、 相交于点 ，若 ， ，求线段 的长．
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