问题背景（1）如图1，△ABC中，DE//BC分别交AB，A_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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问题背景
（1）如图1， $△ A B C$ 中， $D E / / B C$ 分别交 $A B$ ， $A C$ 于 $D$ ， $E$ 两点，过点 $E$ 作 $E F / / A B$ 交 $B C$ 于点 $F$ ．请按图示数据填空：

四边形 $D B F E$ 的面积 $S =$
△EFC的面积 $S_{1} =$
△ADE的面积 $S_{2} =$
探究发现
（2）在（1）中，若 $B F = a$ ， $F C = b$ ， $D E$ 与 $B C$ 间的距离为 $h$ ．请证明 $S^{2} = 4 S_{1} S_{2}$
拓展迁移
（3）如图2， $▱ D E F G$ 的四个顶点在△ABC的三边上，若 $△ A D G$ 、 $△ D B E$ 、 $△ G F C$ 的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求 $△ A B C$ 的面积．

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如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx (a > 0)$ 过点 $E (8, 0)$ ，矩形 $ABCD$ 的边 $AB$ 在线段 $OE$ 上（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），点 $C$ 、 $D$ 在抛物线上， $∠ BAD$ 的平分线 $AM$ 交 $BC$ 于点 $M$ ，点 $N$ 是 $CD$ 的中点，已知 $OA = 2$ ，且 $OA : AD = 1 : 3$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $F$ 、 $G$ 分别为 $x$ 轴， $y$ 轴上的动点，顺次连接 $M$ 、 $N$ 、 $G$ 、 $F$ 构成四边形 $MNGF$ ，求四边形 $MNGF$ 周长的最小值；

（3）在 $x$ 轴下方且在抛物线上是否存在点 $P$ ，使 $ΔODP$ 中 $OD$ 边上的高为 $\frac{6 \sqrt{10}}{5}$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）矩形 $ABCD$ 不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 $K$ 、 $L$ ，且直线 $KL$ 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

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（1）求证： $EF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求证： $B D^{2} = AC \cdot BF$ ．

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某列车平均提速 $80 km / h$ ，用相同的时间，该列车提速前行驶 $300 km$ ，提速后比提速前多行驶 $200 km$ ，求该列车提速前的平均速度．

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