观察下面的变形规律：＝1－；＝－；＝－；……解答下面的问题：

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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观察下面的变形规律：
＝1－；＝－；＝－；……
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想＝；
（2）证明你猜想的结论；
（3）求和：＋＋＋…＋ .

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在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ BAC = α$ ，点 $P$ 为线段 $CA$ 延长线上一动点，连接 $PB$ ，将线段 $PB$ 绕点 $P$ 逆时针旋转，旋转角为 $α$ ，得到线段 $PD$ ，连接 $DB$ ， $DC$ ．

（1）如图1，当 $α = 60 °$ 时，

①求证： $PA = DC$ ；

②求 $∠ DCP$ 的度数；

（2）如图2，当 $α = 120 °$ 时，请直接写出 $PA$ 和 $DC$ 的数量关系．

（3）当 $α = 120 °$ 时，若 $AB = 6$ ， $BP = \sqrt{31}$ ，请直接写出点 $D$ 到 $CP$ 的距离为　　．

题型：未知
难度：未知

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如图，在平面直角坐标系中， $ΔAOB$ 的顶点 $O$ 是坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(4, 4)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(6, 0)$ ，动点 $P$ 从 $O$ 开始以每秒1个单位长度的速度沿 $y$ 轴正方向运动，设运动的时间为 $t$ 秒 $(0 < t < 4)$ ，过点 $P$ 作 $PN / / x$ 轴，分别交 $AO$ ， $AB$ 于点 $M$ ， $N$ ．

（1）填空： $AO$ 的长为　　， $AB$ 的长为　　；

（2）当 $t = 1$ 时，求点 $N$ 的坐标；

（3）请直接写出 $MN$ 的长为　　（用含 $t$ 的代数式表示）；

（4）点 $E$ 是线段 $MN$ 上一动点（点 $E$ 不与点 $M$ ， $N$ 重合）， $ΔAOE$ 和 $ΔABE$ 的面积分别表示为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，当 $t = \frac{4}{3}$ 时，请直接写出 $S_{1} \cdot S_{2}$ （即 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的积）的最大值为　　．