（本小题满分13分）已知椭圆两焦点分别为、,是椭圆在第一象限

（本小题满分13分）已知椭圆两焦点分别为、 ,是椭圆在第一象限弧上的一点，并满足,过点作倾斜角互补的两条直线、分别交椭圆于A、B两点.
（1）求点坐标；
（2）证明：直线的斜率为定值，并求出该定值.

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已知椭圆 $E$ 经过点 $A (2, 3)$ ，对称轴为坐标轴，焦点 $F_{1}, F_{2}$ 在 $x$ 轴上，离心率 $e = \frac{1}{2}$ 。

(Ⅰ)求椭圆 $E$ 的方程；
(Ⅱ)求 $∠ F_{1} A F_{2}$ 的角平分线所在直线 $l$ 的方程；
(Ⅲ)在椭圆 $E$ 上是否存在关于直线 $l$ 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。

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如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是正方形， $E F / / A B$ ， $E F ⊥ F B$ ， $A B = 2 E F$ ， $∠ B F C = 90^{°}$ ， $B F = F C$ ， $H$ 为 $B C$ 的中点.

(Ⅰ)求证： $F H$ ∥平面 $E D B$ ；
(Ⅱ)求证： $A C ⊥$ 平面 $E D B$ ；
(Ⅲ)求二面角 $B - D E - C$ 的大小。

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设 $a$ 为实数，函数 $f (x) = e^{x} - 2 x + 2 a, x \in R$ 。
(Ⅰ)求 $f (x)$ 的单调区间与极值；
(Ⅱ)求证：当 $a > \ln 2 - 1$ 且 $x > 0$ 时， $e^{x} > x^{2} - 2 a x + 1$ 。

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设 $△ A B C$ 是锐角三角形， $a, b, c$ 分别是内角 $A, B, C$ 所对边长，并且 $\sin^{2} A = \sin (\frac{π}{3} + B) \sin (\frac{π}{3} - B) + \sin^{2} B$ ，

(Ⅰ)求角 $A$ 的值；

(Ⅱ)若 $\overset{⇀}{A B \cdot} \overset{⇀}{A C} = 12$ , $a = 2 \sqrt{7}$ ，求 $b, c$ (其中 $b < c$ )．

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已知 $∆ A B C$ 的三边长为有理数
（1）求证 $\cos A$ 是有理数;
（2）对任意正整数 $n$ ,求证 $\cos n A$ 也是有理数.

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