(本小题满分10分) 已知函数,且, (1)求函数的解析式;(2)判断函数在定义域上的单调性,并证明;(3)求证:方程至少有一根在区间.
【改编】(本小题满分12分)已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间; (2)当时,求函数的值域.
【原创】(本小题满分13分)已知函数,其中为自然对数的底数. (Ⅰ)求曲线在点处的切线方程; (Ⅱ)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围; (Ⅲ)试探究当时,方程解的个数,并说明理由.
(本小题满分13分)如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆:,设是椭圆上的任一点,从原点向圆:作两条切线,分别交椭圆于点,. (1)若直线,互相垂直,求圆的方程; (2)若直线,的斜率存在,并记为,,求证:; (3)试问是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.
(本小题满分12分)已知数列是递增的等差数列,,是方程的两根. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)求数列的前项和.
【原创】(本小题满分12分)如图,在四面体中,,点是的中点,点在线段上, 且. (1)若∥平面,求实数的值; (2)求证:平面平面.