(本小题满分10分)学习曲线是1936年美国廉乃尔大学T. P. Wright博士在飞机制造过程中,通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究,首次发现并提出来的。已知某类学习任务的学习曲线为:为掌握该任务的程度,t为学习时间),且这类学习任务中的某项任务满足(1)求的表达式,计算的含义;(2)已知为该类学习任务在t时刻的学习效率指数,研究表明,当学习时间时,学习效率最佳,当学习效率最佳时,求学习效率指数相应的取值范围。
(本小题满分14分)已知函数(其中,e是自然对数的底数,e=2.71828…).(Ⅰ)当时,求函数的极值;(Ⅱ)若恒成立,求实数a的取值范围;(Ⅲ)求证:对任意正整数n,都有.
在平面直线坐标系XOY中,给定两点A(1,0),B(0,-2),点C满足,其中,且.(1)求点C的轨迹方程.(2)设点C的轨迹与双曲线()相交于M,N两点,且以MN为直径的圆经过原点,求证:是定值.(3)在(2)条件下,若双曲线的离心率不大于,求该双曲线实轴的取值范围.
(本小题满分12分)在科普知识竞赛前的培训活动中,将甲、乙两名学生的6次培训成绩(百分制)制成如图所示的茎叶图: (Ⅰ)若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛,你会选哪位?请运用统计学的知识说明理由; (Ⅱ)若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个,记选到的分数超过87分的个数为,求的分布列和数学期望.
(本小题满分13分)如图,四棱锥中,平面,.(1)求三棱锥的外接球的体积;(2)求二面角与二面角的正弦值之比.
【改编】(本小题满分12分)在中,角的对边分别为,已知且.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)若,求△的周长.