(本小题满分12分)已知函数的图象在轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为,与轴在原点右侧的第一个交点为N(6,0),求这个函数的解析式。
(本小题满分14分)已知函数(为自然对数的底数),曲线在处的切线与直线互相垂直. (Ⅰ)求实数的值; (Ⅱ)若对任意, 恒成立,求实数的取值范围; (Ⅲ)设 , .问:是否存在正常数,对任意给定的正整数,都有成立?若存在,求的最小值;若不存在,请说明理由.
(本小题满分13分)如图,已知椭圆的离心率为,其左、右顶点分别为.一条不经过原点的直线与该椭圆相交于、两点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若,直线与的斜率分别为.试问:是否存在实数,使得?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
(本小题满分12分)已知等差数列单调递增,且, 是与的等比中项.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设数列的前项和为,求数列的前项和.
(本小题满分12分)如图,已知是圆的两条互相垂直的直径,直角梯形所在平面与圆所在平面互相垂直,其中,,,,点为线段中点.(Ⅰ)求证:直线平面;(Ⅱ)若点在线段上,且点在平面上的射影为线段的中点,请求出线段的长.
(本小题满分12分)某运动队拟在2015年3月份安排5次体能测试,规定:依次测试,只需有一次测试合格就不必参加后续的测试.已知运动员小刘5次测试每次合格的概率依次构成一个公差为的等差数列,他第一次测试合格的概率不超过,且他直到第二次测试才合格的概率为.(Ⅰ)求小刘第一次参加测试就合格的概率;(Ⅱ)在小刘参加第一、第二次测试均不合格的前提下,记小刘参加后续测试的次数为,求随机变量的分布列和数学期望.