（本小题满分14分）如下图，过抛物线的对称轴上任一点作直线与

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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（本小题满分14分）
如下图，过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于两点。
（I）若，证明：
（II）在（I）条件下，若点Q是点P关于原点对称点，证明：；
（III）设直线AB的方程是，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。

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在中，为锐角，角所对应的边分别为，且
（I）求的值；（II）若，求的值。

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已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) - x_{1}$

（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）记 $f (x)$ 在区间 $[0, π]$ （ $n \in N^{*}$ ）上的最小值为 $b_{x}$ 令 $a_{n} = \ln (1 + n) - b_{x}$ .
（ⅰ）如果对一切 $n$ ，不等式 $\sqrt{a_{n}} < \sqrt{a_{n - 2}} - \frac{c}{\sqrt{a_{n + 2}}}$ 恒成立，求实数 $c$ 的取值范围；
（ⅱ）求证： $\frac{a_{1}}{a_{3}} + \frac{a_{1} a_{3}}{a_{2} a_{4}} + . . . + \frac{a_{1} a_{3} . . . a_{2 n - 1}}{a_{2} a_{4} . . . a_{2 n}} < \sqrt{2 a_{n} + 1} - 1$ .

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如图，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点是 $F (1, 0)$ ， $O$ 为坐标原点。
　　　　　　　　　　　　　　

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A$ 、 $B$ 两点，若直线 $l$ 绕点 $F$ 任意转动，值有 $| O A |^{2} + | O B |^{2} < | A B |^{2}$ ，求 $a$ 的取值范围。

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某项考试按科目 $A$ 、科目 $B$ 依次进行，只有当科目 $A$ 成绩合格时，才可继续参加科目 $B$ 的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，科目 $B$ 每次考试成绩合格的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，假设各次考试成绩合格与否均互不影响。
（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的数学期望 $E ξ$ 。

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已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 2$ 。
　　（Ⅰ）设 $\{a_{n}\}$ 是正数组成的数列，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，其中 $a_{1} = 3$ ，若点 $(n \in N^{*})$ 在函数 $y = f^{`} (x)$ 的图象上，求证：点 $(n, S_{n})$ 也在 $y = f^{`} (x)$ 的图象上；
　　（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 在区间 $(a - 1, a)$ 内的极值。

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