（本小题满分12分）上海世博会举办时间为2010年5月1日～

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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（本小题满分12分）上海世博会举办时间为2010年5月1日～10月31日。福建馆以“海西”为参博核心元素，主题为“潮涌海西，魅力福建”。福建馆招募了60名志愿者，某高校有l3人入选，其中5人为中英文讲解员，8人为迎宾礼仪，它们来自该校的5所所学院（这5所学院编号为1～5号），人员分布如图所示。若从这13名入选者中随机抽取3人。
（1）求这3人所在学院的编号恰好成等比数列的概率；
（2）求这3人中中英文讲解员人数的分布列及数学期望。

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如图，在几何体 $A B C D E$ 中，四边形 $A B C D$ 是矩形， $A B ⊥$ 平面 $B E C$ ， $B E ⊥ E C$ ， $A B = B E = E C = 2$ ， $G, F$ 分别是线段 $B E, D C$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $G F / /$ 平面 $A D E$ ；
（Ⅱ）求平面 $A E F$ 与平面 $B E C$ 所成锐二面角的余弦值．

题型：未知
难度：未知

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某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.
（Ⅰ）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（Ⅱ）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

题型：未知
难度：未知

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已知椭圆 $C :$ $x^{2} + 3 y^{2} = 3$ ，过点 $D (1, 0)$ 且不过点 $E (2, 1)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ $B$

$B$ $B$ 两点，直线 $A E$ 与直线 $x = 3$ 交于点 $M$ ．
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的离心率；
（Ⅱ）若 $A B$ 垂直于 $x$ 轴，求直线 $B M$ 的斜率；
（Ⅲ）试判断直线 $B M$ 与直线 $D E$ 的位置关系，并说明理由．

题型：未知
难度：未知

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设函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} - k \ln x, k > 0$ ，．
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间和极值；
（Ⅱ）证明：若 $f (x)$ 存在零点，则 $f (x)$ 在区间 $(1, \sqrt{e}]$ 上仅有一个零点．

题型：未知
难度：未知

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如图，在三棱锥 $V - A B C$ 中,平面 $V A B ⊥$ 平面 $A B C$ , $∆ V A B$ 为等边三角形, $A C ⊥ B C$ 且 $A C = B C = \sqrt{2}$ . $O, M$ 分别为 $A B$ , $V A$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $V B ∥$ 平面 $M O C$ ；
（Ⅱ）求证：平面 $M O C ⊥$ 平面 $V A B$ ；
（Ⅲ）求三棱锥 $V - A B C$ 的体积．

题型：未知
难度：未知

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