数列 $\left\{a_n\right\}$中, $a_1=\frac{1}{3}$，前 $n$项和 $S_n$满足 $S_{n+1}-S_n={\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}\left(n\in N^{*}\right)$.

(I)求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式 $a_n$以及前 $n$项和 $S_n$.
(II)若 $S_1,t\left(S_1+S_2\right),3\left(S_2+S_3\right)$成等差数列，求实数 $t$的值.