在三棱锥中,是边长为的正三角形,平面平面,,、分别为、的中点,(1)证明:;(2)求二面角的大小;(3)求点到平面的距离.
已知 a > 0 ,函数 f ( x ) = x - a x + 2 a . (I)记 f ( x ) 在区间 [ 0 , 4 ] 上的最大值为 g ( a ) ,求 g ( a ) 的表达式; (II)是否存在 a ,使函数 y = f ( x ) 在区间 ( 0 , 4 ) 内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.
过抛物线 E : x 2 = 2 p y p > 0 的焦点 F 作斜率分别为 k 1 , k 2 的两条不同的直线 l 1 , l 2 ,且 k 1 + k 2 = 2 , l 1 与 E 相交于点 A , B , l 2 与 E 相交于点 C , D .以 A B , C D 为直径的圆 M ,圆 N ( M , N 为圆心)的公共弦所在的直线记为 l . (I)若 k 1 > 0 , k 2 > 0 ,证明; F M ⇀ · F N ⇀ < 2 p 2 ; (II)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为 7 5 5 ,求抛物线 E 的方程.
在平面直角坐标系 x O y 中,将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路径成为 M 到 N 的一条" L 路径"。如图所示的路径 M M 1 M 2 M 3 N 与路径 M N 1 N 都是 M 到 N 的" L 路径"。某地有三个新建的居民区,分别位于平面 x O y 内三点 A 3 , 20 , B ( - 10 , 0 ) , C 14 , 0 处。现计划在 x 轴上方区域(包含x轴)内的某一点 P 处修建一个文化中心。
(I)写出点 P 到居民区 A 的" L 路径"长度最小值的表达式(不要求证明); (II)若以原点 O 为圆心,半径为1的圆的内部是保护区," L 路径"不能进入保护区,请确定点 P 的位置,使其到三个居民区的" L 路径"长度值和最小。
如图,在直棱柱 A B C D - A 1 B 1 C 1 D 1 中 , A D / / B C , ∠ B A D = 90 ° , A C ⊥ B D , B C = 1 , A D = A A 1 = 3 .
(I)证明: A C ⊥ B 1 D ; (II)求直线 B 1 C 1 与平面 A C D 1 所成角的正弦值.
某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量 Y (单位: k g )与它的"相近"作物株数 X 之间的关系如下表所示:
这里,两株作物"相近"是指它们之间的直线距离不超过1米.
(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好"相近"的概率; (II)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.