某学校拟建一座长米,宽米的长方形体育馆．按照建筑要求,每隔米_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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某学校拟建一座长米,宽米的长方形体育馆．按照建筑要求,每隔米需打建一个桩位,每个桩位需花费万元（桩位视为一点且打在长方形的边上）,桩位之间的米墙面需花万元,在不计地板和天花板的情况下,当为何值时,所需总费用最少？

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如图，棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 是菱形， $B_{1} C ⊥ A_{1} B$ .
（Ⅰ）证明：平面 $A_{1} B_{1} C$ $⊥$ 平面 $A_{1} B_{} C_{1}$ ；
（Ⅱ）设 $D$ 是 $A_{1} C_{1}$ 上的点，且 $A B_{1} / /$ 平面 $B_{1} C D$ ，求 $A_{1} D \cdot D C_{1}$

题型：未知
难度：未知

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已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 均为正数，证明： $a^{2} + b^{2} + c^{2} + {(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})}^{2} \geq 6 \sqrt{3}$ ，并确定 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为何值时，等号成立。

题型：未知
难度：未知

收藏答案/解析

已知函数 $f (x) = (a + 1) \ln x + a x^{2} + 1$ .
（Ⅰ）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）设 $a \leq - 2$ ，证明：对任意 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ， $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \geq 4 |x_{1} - x_{2}|$ 。

题型：未知
难度：未知

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证明以下命题：
（1）对任一正整数 $a$ ，都存在正整数 $b, c (b < c)$ ，使得 $a^{2}, b^{2}, c^{2}$ 成等差数列；
（2）存在无穷多个互不相似的三角形 $△_{n}$ ,其边长 $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ 为正整数且 ${a_{n}}^{2}, {b_{n}}^{2}, {c_{n}}^{2}$ 成等差数列.

题型：未知
难度：未知

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设椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，抛物线 $C_{2}$ ： $x^{2} + b y = b^{2}$ .

(1) 若 $C_{2}$ 经过 $C_{1}$ 的两个焦点，求 $C_{1}$ 的离心率；
(2) 设 $A (0, b), Q (3 \sqrt{3}, \frac{5}{4} b)$ ，又 $M, N$ 为 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 不在 $y$ 轴上的两个交点，若 $△ A M N$ 的垂心为 $B (0, \frac{3}{4} b)$ ，且 $△ Q M N$ 的重心在 $C_{2}$ 上，求椭圆 $C_{1}$ 和抛物线 $C_{2}$ 的方程．

题型：未知
难度：未知

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