已知复数
均为实数，
为虚数单位，且对于任意复数
。
（1）试求
的值，并分别写出
和
用
、
表示的关系式；
（2）将(、)作为点
的坐标，(、)作为点
的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点，
当点在直线
上移动时，试求点经该变换后得到的点的轨迹方程；
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。
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（本小题满分13分）已知函数
在
处取得极值
．
（1）求
的解析式；
（2）设
是曲线
上除原点
外的任意一点，过
的中点且垂直于
轴的直线交曲线于点
，试问：是否存在这样的点，使得曲线在点处的切线与平行？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设函数
，若对于任意
，总存在
，使得
，求实数
的取值范围．
（本小题满分13分）如图，椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为
、
，右焦点为
，且
,
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线
、
，直线与椭圆分别交于点
、
，直线与椭圆分别交于点
、
，且
，求四边形
的面积
的最小值．
（本小题满分13分）某学校实验室有浓度为
和
的两种
溶液．在使用之前需要重新配制溶液，具体操作方法为取浓度为和的两种溶液各
分别装入两个容积都为
的锥形瓶
中，先从瓶
中取出
溶液放入
瓶中，充分混合后，再从瓶中取出溶液放入瓶中，再充分混合．以上两次混合过程完成后算完成一次操作．设在完成第
次操作后，瓶中溶液浓度为
，瓶中溶液浓度为
．
（1）请计算
，并判定数列
是否为等比数列？若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由；
（2）若要使得两个瓶中的溶液浓度之差小于
，则至少要经过几次？
中，
侧面
，已知
,
,
,
．
平面
；
点为棱
的中点时，求
与平面
所成的角的正弦值．
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