设函数，已知关于的方程的两个根为，(1)判断在上的单调性；(

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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设函数，已知关于的方程的两个根为，
(1)判断在上的单调性；
(2)若，证明.

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已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 1 + λ a_{n}$ ，其中 $λ \neq 0$ ．

（1）证明 ${a_{n}}$ 是等比数列，并求其通项公式；

（2）若 $S_{5} = \frac{31}{32}$ ，求 $λ$ ．

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已知函数 $f (x) = | x + 1 | - | 2 x - 3 |$ ．

（Ⅰ）在图中画出 $y = f (x)$ 的图象；

（Ⅱ）求不等式 $| f (x) | > 1$ 的解集．

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在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = a \cos t \\ y = 1 + a \sin t \end{matrix} (t$ 为参数， $a > 0)$ ．在以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C_{2} : ρ = 4 \cos θ$ ．

（Ⅰ）说明 $C_{1}$ 是哪种曲线，并将 $C_{1}$ 的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $θ = α_{0}$ ，其中 $α_{0}$ 满足 $\tan α_{0} = 2$ ，若曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共点都在 $C_{3}$ 上，求 $a$ ．

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如图， $ΔOAB$ 是等腰三角形， $∠ AOB = 120 °$ ．以 $O$ 为圆心， $\frac{1}{2} OA$ 为半径作圆．

（Ⅰ）证明：直线 $AB$ 与 $⊙ O$ 相切；

（Ⅱ）点 $C$ ， $D$ 在 $⊙ O$ 上，且 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点共圆，证明： $AB / / CD$ ．

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已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} + a {(x - 1)}^{2}$ 有两个零点．

（Ⅰ）求 $a$ 的取值范围；

（Ⅱ）设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个零点，证明： $x_{1} + x_{2} < 2$ ．

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