有一个3×3×3的正方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成27个1×1×1的小正方体,从这些小正方体中随机地任取1个. 如每次从中任取一个小正方体,确定涂色的面数后,再放回,连续抽取6次,设恰好取到只有一个面涂有颜色的小正方体的次数为. 求的数学期望.
如图,矩形中,,,、分别在线段和上,∥,将矩形沿折起,记折起后的矩形为,且平面平面. (Ⅰ)求证:∥平面; (Ⅱ)求四面体体积的最大值.
如图所示,、分别是单位圆与轴、轴正半轴的交点,点在单位圆上,(),点坐标为,平行四边形的面积为. (Ⅰ)求的最大值; (Ⅱ)若∥,求.
在平面直角坐标系中,已知点,是动点,且的三边 所在直线的斜率满足. (Ⅰ)求点的轨迹的方程; (Ⅱ)点在直线上,过作(Ⅰ)中轨迹的两切线,切点分别为、,若 是直角三角形,求点的坐标.
如图,在空间直角坐标系中,正四棱锥的侧棱长与底面边长都为,点、分别在线段、上,且. (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)求与平面所成角的正弦值.
(选修4-4:坐标系与参数方程) 已知直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程是,以极点 为原点,极轴为轴正方向建立直角坐标系,点,直线与曲线交于、两点. (Ⅰ)写出直线的极坐标方程与曲线的普通方程; (Ⅱ)求线段、长度之积的值.