已知正方体的棱长为2，分别是上的动点，且，确定的位置，使．

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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设函数 $f (x) = \frac{3 x^{2} + a x}{e^{x}} (a \in R)$

（1）若 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得极值，确定 $a$ 的值，并求此时曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；
（2）若 $f (x)$ 在 $[3, + \infty)$ 上为减函数，求 $a$ 的取值范围。

题型：未知
难度：未知

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如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C ⊥$ 平面 $A B C, P C = 3, ∠ A C B = \frac{π}{2}, D, E$ 分别为线段 $A B, B C$ 上的点，且 $C D = D E = \sqrt{2}, C E = 2 E B = 2$

（1）证明： $D E ⊥$ 平面 $P C D$

（2）求二面角 $A - P D - C$ 的余弦值。

题型：未知
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已知函数 $f (x) = \sin (\frac{π}{2} - x) \sin x - \sqrt{3} \cos^{2} x$ .

（1）求 $f (x)$ 的最小正周期和最大值；
（2）讨论 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3}]$ 上的单调性.

题型：未知
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端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。
（1）求三种粽子各取到1个的概率；
（2）设 $X$ 表示取到的豆沙粽个数，求 $X$ 的分布列与数学期望

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设函数 $f (x) = x^{2} + a x + b (a, b \in R)$ .

（1）当 $b = \frac{a^{2}}{4} + 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的最小值 $g (a)$ 的表达式；
（2）已知函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上存在零点， $0 \leq b - 2 a \leq 1$ ，求 $b$ 的取值范围.

题型：未知
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