已知点A(1，4)，B(5，2)，线段AB上的三等分点依次为

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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已知点A(-1，-4)，B(5，2)，线段AB上的三等分点依次为P₁、P₂，求P₁、P₂的坐标以及A、B分所成的比λ.

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已知 $O$ 为坐标原点， $F$ 为椭圆 $C : x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 在 $y$ 轴正半轴上的焦点，过 $F$ 且斜率为 $- \sqrt{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交与 $A, B$ 两点，点 $P$ 满足 $\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} + \overset{⇀}{O P} = \overset{⇀}{0}$ .

(1)证明：点 $P$ 在 $C$ 上；
(2)设点 $P$ 关于点 $O$ 的对称点为 $Q$ ，证明： $A, P, B, Q$ 四点在同一圆上.

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已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + (3 - 6 a) x + 12 a - 4 (a \in R)$ .

(1)证明：曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线过点 $（ 2, 2)$ ;
(2）若 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处取得最小值， $x_{0} \in (1, 3)$ ,求 $a$ 的取值范围.

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如图，四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A B / / C D$ , $B C ⊥ C D$ ，侧面 $S A B$ 为等边三角形. $A B = B C = 2, C D = S D = 1$ .

（1）证明： $S D ⊥$ 平面 $S A B$ .

（2）求 $A B$ 与平面 $S B C$ 所成角的大小.

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根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.
(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(II)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.

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$∆ A B C$ 的内角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ .己知 $a \sin A + c \sin C - \sqrt{2} a \sin C = b \sin B$ .
(Ⅰ)求 $B$ ；
(Ⅱ)若 $A = 75^{°}, b = 2$ ,求 $a, c$ .

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