有时可用函数 f ( x ) = { 0 . 1 + 15 ln a a - x , ( x ≤ 6 ) x - 4 . 4 x - 4 , ( x > 6 ) 描述学习某学科知识的掌握程度,其中 x 表示某学科知识的学习次数( x ∈ N + ), f ( x ) 表示对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关. (1)证明:当 x ≥ 7 时,掌握程度的增加量 f ( x + 1 ) - f ( x ) 总是下降; (2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为 ( 115 , 121 ] , ( 121 , 127 ] , ( 121 , 133 ] .当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科.
(本小题满分10分) 已知函数. (I)求的单调区间; (II)设,若对任意,均存在,使得,求的取值范围.
(本小题满分10分) 如图,四面体ABCD中,O是BD的中点,ΔABD和ΔBCD均为等边三角形,. (I)求证:平面BCD; (II)求二面角A-BC- D的正切值.
(本小题满分10分) 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1 =,AB = 1,E是DD1的中点. (I)求直线B1D和平面A1ADD1所成角的大小; (II)求证:B1D⊥AE.
(本小题满分10分) 已知复数. (I)求及; (II)若,求实数的值.
(本小题满分16分) 已知函数的图象过点,且在点处的切线与直线垂直. (1) 求实数的值;(6分) (2) 求在(为自然对数的底数)上的最大值;(5分) (3) 对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点,使得是以为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上?(5分)