设函数 $f\left(x\right)=(\sin \omega x+\cos \omega x{)}^2+2{\cos }^2\omega x(\omega >0)$的最小正周期为 $\frac{2\pi }{3}$．
（Ⅰ）求 $\omega$的最小正周期．
（Ⅱ）若函数 $y=g\left(x\right)$的图像是由 $y=f\left(x\right)$的图像向右平移 $\frac{\pi }{2}$个单位长度得到，求 $y=g\left(x\right)$的单调增区间．