2013年全国统一高考文科数学试卷（四川卷）

设集合 $A=\{1,2,3\}$，集合 $B=\{-2,2\}$，则 $A\cap B=$（　　）

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（　　）

如图，在复平面内，点 $A$表示复数 $z$的共轭复数，则复数 $z$对应的点是（）

设 $x\in Z$，集合 $A$是奇数集，集合 $B$是偶数集．若命题 $P:\forall x\in A,2x\in \in B$，则（）

抛物线 $y^2=8x$的焦点到直线 $x-\sqrt{3}y=0$的距离是（）

A．

B．

2

C．

D．

1

函数 $f\left(x\right)=2\sin (\omega x+\varphi )(\omega >0,-\frac{\pi }{2}<\varphi <\frac{\pi }{2})$的部分图象如图所示，则 $\omega ,\varphi$的值分别是（　　）

某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（　　）

若变量 $x,y$满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x+y=8\\ 2y-x\le 4\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$且 $z=5y-x$的最大值为 $a$，最小值为 $b$，则 $a-b$的值是（）

从椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$上一点 $P$向 $x$轴作垂线，垂足恰为左焦点 $F_1$， $A$是椭圆与 $x$轴正半轴的交点， $B$是椭圆与 $y$轴正半轴的交点，且 $AB\parallel 0P$（ $O$是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）

设函数 $f\left(x\right)=\sqrt{e^x+x-a}$( $a\in R,e$为自然对数的底数).若存在 $b\in \left[0,1\right]$使 $f\left(f\left(b\right)\right)=b$成立,则 $a$的取值范围是（）

$lg\sqrt{5}+lg\sqrt{20}$的值是．

在平行四边形 $ABCD$中，对角线 $AC$与 $BD$交于点 $O$， $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}+\stackrel{\rightharpoonup }{AD}=\lambda \stackrel{\rightharpoonup }{AO}$，则 $\lambda =$．

已知函数 $f\left(x\right)=4x+\frac{a}{x}\left(x>0,a>0\right)$在 $x=3$时取得最小值,则 $a=$．

设 $\sin 2\alpha =-\sin \alpha$， $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，则 $\tan 2\alpha$的值是．

在平面直角坐标系内，到点 $A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)$的距离之和最小的点的坐标是．

在等比数列 $\left\{a_n\right\}$中， $a_2-a_1=2$，且 $2a_2$为 $3a_1$和 $a_3$的等差中项，求数列 $\left\{a_n\right\}$的首项、公比及前 $n$项和．

在 $△ABC$中，角 $A,B,C$的对边分别为 $a,b,c$且 $\cos (A-B)\cos B-\sin (A-B)\sin (A+C)=-\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求 $\sin A$的值；
（Ⅱ）若 $a=4\sqrt{2},b=5$，求向量 $\stackrel{\to }{BA}$在 $\stackrel{\to }{BC}$方向上的投影．

某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 $x$在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．

（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出 $y$的值为 $i$的概率 $P_i$（ $i$=1，2，3）；
（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 $n$次后，统计记录了输出 $y$的值为 $i$（ $i$=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计表（部分）

乙的频数统计表（部分）

当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 $y$的值为 $i$（ $i$=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．

如图，在三棱柱 $ABC﹣A_1{B}_{1}C$中，侧棱 $A{A}_1\perp \mathrm{底面}ABC$， $AB=AC=2A{A}_1=2$， $\angle BAC=120°$， $D,D_1$分别是线段 $BC,B_1{C}_1$的中点， $P$是线段 $AD$上异于端点的点．

（Ⅰ）在平面 $ABC$内，试作出过点P与平面 $A_{1}BC$平行的直线 $l$，说明理由，并证明直线 $l\perp \mathrm{平面}AD{D}_{1}A$₁；
（Ⅱ）设(Ⅰ）中的直线 $l$交 $AC$于点 $Q$，求三棱锥 $A_1-Q{C}_{1}D$的体积．（锥体体积公式： $V=\frac{1}{3}Sh$，其中S为底面面积，h为高）

已知圆 $C$的方程为 $x^2+{\left(y-4\right)}^2=4$，点 $O$是坐标原点．直线 $l$： $y=kx$与圆 $C$交于 $M$， $N$两点．
（Ⅰ）求 $k$的取值范围；
（Ⅱ）设 $Q\left(m,n\right)$是线段 $MN$上的点，且 $\frac{2}{{\left|OQ\right|}^2}=\frac{1}{{\left|O{M}^{}\right|}^2}+\frac{1}{{\left|ON\right|}^2}$．请将 $n$表示为 $m$的函数．

已知函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+2x+a,x<0\\ \ln \left(x\right),x>0\end{array}\right.$，其中 $a$是实数．设 $A\left(x_1,f\left(x_1\right)\right),B\left(x_2,f\left(x_2\right)\right)$为该函数图象上的两点，且 $x_{1<}{x}_2$．
（Ⅰ）指出函数 $f\left(x\right)$的单调区间；
（Ⅱ）若函数 $f\left(x\right)$的图象在点 $A,B$处的切线互相垂直，且 $x_2<0$，证明： $x_2-x_1\ge 1$；
（Ⅲ）若函数 $f\left(x\right)$的图象在点 $A,B$处的切线重合，求 $a$的取值范围．