2008年全国统一高考理科数学试卷（北京卷）

已知函数 $f\left(x\right)={\sin }^2\omega x+\sqrt{3}\sin \omega x\sin (\omega x+\frac{\pi }{2})(\omega >0)$ 的最小正周期为 $\pi$ .
（1）求 $\omega$ 的值；

（2）求函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $[0,\frac{2}{3}\pi ]$ 上的取值范围．

若 ${\left(x^2+\frac{1}{x^3}\right)}^n$展开式的各项系数之和为32,则 $n=$   ,其展开式中的常数项为   .(用数字作答）

某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下第 $k$棵树种植在点 $P_k(x_k,y_k)$处，其中 $x_1=1.y_1=1$，当 $k\ge 2$时， $\{\begin{array}{c}{x}_k=x_{k-1}+1-5\left[T\right(\frac{k-1}{5})-T(\frac{k-2}{5}\left)\right]\\ y_k=y_{k-1}+T\left(\frac{k-1}{5}\right)-T\left(\frac{k-2}{5}\right)\end{array}$, $T\left(a\right)$表示非负实数 $a$的整数部分，例如 $T(2.6)=2,T(0.2)=0$．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为   ；第2008棵树种植点的坐标应为   ．

已知全集 $U=R$，集合 $A=\left\{x\right|-2\le x\le 3\}$， $B=\left\{x\right|x<-1或x>4\}$，那么集合 $A\cap \left(C_{U}B\right)$等于（ ）

若 $a=2^{0.5}$， $b={\log }_{\pi }\left(3\right)$， $c={\log }_2\sin \frac{2\pi }{5}$，则（）

"函数 $f\left(x\right)\left(x\in R\right)$存在反函数"是"函数 $f\left(x\right)$在 $R$上为增函数"的（）

若点 $P$到直线 $x=-1$的距离比它到点 $\left(2,0\right)$的距离小1，则点 $P$的轨迹为（）

若实数 $x,y$满足 $\left\{\begin{array}{c}x-y+1⩾0\\ x+y⩾0\\ x⩽0\end{array}\right.$则 $z=3^{x+2y}$的最小值是（）

已知数列 $\left\{a_n\right\}$对任意的 $p,q\in N^{*}$满足 $a_{p+q}=a_p+a_q$，且 $a_2=-6$，那么 $a_{10}$等于（  ）

过直线 $y=x$上的一点作圆 ${\left(x-5\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=2$的两条切线 $l_1,l_2$，当直线 $l_1,l_2$关于 $y=x$对称时，它们之间的夹角为（）

如图，动点 在正方体 的对角线 上．过点 作垂直于平面 的直线，与正方体表面相交于 ．设 ， ，则函数 的图象大致是（   ）

已知 $(a-i{)}^2=2i$，其中 $i$是虚数单位，那么实数 $a=$．

已知向量 $\mathit{a}$与 $\mathit{b}$的夹角为 $120°$，且 $\left|\mathit{a}\right|+\left|\mathit{b}\right|=4$，那么 $\mathit{b}·(2\mathit{a}\mathbf{+}\mathit{b})$的值为    ．

如图，函数 $f\left(x\right)$ 的图象是折线段 $ABC$ ，其中 $A,B,C$ 的坐标分别为 $(0,4),(2,0),(6,4)$ ，则 $f\left(f\right(0\left)\right)=$

已知函数 $f\left(x\right)=x^2-\cos x$，对于 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$上的任意 $x_1,x_2$，有如下条件
① $x_1>x_2$； ② ${x_1}^2>{x_2}^2$； ③ $\left|x_1\right|>x_2$．
其中能使 $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$恒成立的条件序号是．

如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中， $AC=BC=2$ ， $\angle ACB={90}^{°}$ ， $AP=BP=AB$ ， $PC\perp AC$ ．

（Ⅰ）求证 $PC\perp AB$ ；
（Ⅱ）求二面角 $B-AP-C$ 的大小；
（Ⅲ）求点 $C$ 到平面 $APB$ 的距离．

甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 $A,B,C,D$四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加 $A$岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量 $\xi$为这五名志愿者中参加 $A$岗位服务的人数，求 $\xi$的分布列．

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{2x-b}{(x-1{)}^2}$，求导函数 $f`\left(x\right)$，并确定 $f\left(x\right)$的单调区间．

已知菱形 $ABCD$的顶点 $A,C$在椭圆 $x^2+3y^2=4$上，对角线 $BD$所在直线的斜率为 $1$．
（Ⅰ）当直线 $BD$过点 $\left(0,1\right)$时，求直线 $AC$的方程；
（Ⅱ）当 $\angle ABC=60°$时，求菱形 $ABCD$面积的最大值．