2012年全国统一高考文科数学试卷（北京卷）

已知集合 $A=\left\{\overline{)x\in R}3x+2>0\right\},B=\left\{\overline{)x\in R}\left(x+1\right)\left(x-3\right)>0\right\}$，则 $A\cap B=$（）

在复平面内，复数 $\frac{10i}{3+i}$对应的点的坐标为（）

设不等式 $\{\begin{array}{c}0\le x\le 2\\ 0\le y\le 2\end{array}$表示的平面区域为 $D$，在区域 $D$内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）

执行如图所示的程序框图，输出的 $S$的值是（   ）

函数 $f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}-(\frac{1}{2}{)}^x$的零点个数为（ ）

已知 $\left\{a_n\right\}$为等比数列，下面结论中正确的是（）

某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）

某棵果树前 $n$年的总产量 $S_n$与 $n$之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前 $m$年的年平均产量最高， $m$的值为（）

直线 $y=x$被圆 $x^2+(y-2{)}^2=4$截得的弦长为.

已知 $\left\{a_n\right\}$为等差数列， $S_n$为其前 $n$项和，若 $a_1=\frac{1}{2}$， $S_2=a_3$，则 $a_2=$, $S_n$=.

在 $△ABC$中，若 $a=3,b=\sqrt{3},\angle A=\frac{\pi }{3}$，则 $\angle C$的大小.

已知函数 $f\left(x\right)=lgx$，若 $f\left(ab\right)=1$，则 $f\left(a^2\right)+f\left(b^2\right)=$.

已知正方形ABCD的边长为1，点 $E$是 $AB$边上的动点，则 $\stackrel{\rightharpoonup }{DE}·\stackrel{\rightharpoonup }{CB}$的值是, $\stackrel{\rightharpoonup }{DE}·\stackrel{\rightharpoonup }{DC}$的最大值.

已知 $f\left(x\right)=m(x-2m)(x+m+3)$， $g\left(x\right)=2^x-2$，若 $\forall x\in R$， $f\left(x\right)<0$或 $g\left(x\right)<0$，则 $m$的取值范围是.

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{(\sin x-\cos x)\sin 2x}{\sin x}$.

（Ⅰ）求 $f\left(x\right)$的定义域及最小正周期
（Ⅱ）求 $f\left(x\right)$的单调递减区间。

如图1，在 $Rt△ABC$中， $\angle C={90}^{°}$， $D,E$别为 $AC,AB$的中点，点 $F$为线段 $CD$上的一点，将 $△ADE$沿 $DE$折起到 $△A_{1}DE$的位置，使 $A_{1}F\perp CD$，如图2.

（Ⅰ）求证： $DE\parallel$平面 $A_{1}CB$;

（Ⅱ）求证： $A_{1}F\perp BE$（Ⅲ）线段 $A_{1}B$上是否存在点 $Q$，使 $A_{1}C\perp \mathrm{平面}DEQ$？说明理由.

近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率;
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率 ;
（3）假设厨余垃圾在"厨余垃圾"箱、"可回收物"箱、"其他垃圾"箱的投放量分别为 $a,b,c$,其中 $a>0,a+b+c=600$.当数据 $a,b,c$的方差 $s^2$最大时，写出 $a,b,c$的值（结论不要求证明），并求此时 $s^2$的值.
（注： $s^2=\frac{1}{n}\left[\right(x_1-\overline{x}{)}^2+(x_2-\overline{x}{)}^2+...+(x_n-\overline{x}{)}^2]$，其中 $\overline{x}$为数据 $x_1,x_2,...,x_n$的平均数）

已知函数 $f\left(x\right)=a{x}^2+1\left(a>0\right),g\left(x\right)=x^3+bx$.

（1）若曲线 $y=f\left(x\right)$与曲线 $y=g\left(x\right)$在它们的交点 $\left(1,c\right)$处具有公共切线，求 $a,b$的值
（2）当 $a=3,b=-9$时，若函数 $f\left(x\right)+g\left(x\right)$在区间 $\left[k,2\right]$上的最大值为28,求 $k$的取值范围

已知椭圆 $C$： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的一个顶点为 $A$（2,0），离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，直线 $y=k\left(x-1\right)$与椭圆 $C$交于不同的两点 $M,N$。
（1）求椭圆 $C$的方程
（2）当 $△AMN$的面积为 $\frac{\sqrt{10}}{3}$时，求 $k$的值。

设 $A$是如下形式的2行3列的数表，

满足性质 $P:a,b,c,d,e,f$ $\in \left[-1,1\right]$，且 $a+b+c+d+e+f=0$

记 $r_i\left(A\right)$为 $A$的第 $i$行各数之和（ $i$=1,2）, $c_j\left(A\right)$为 $A$的第 $j$列各数之和（ $j$=1,2,3）记 $k\left(A\right)$为 $\left|r_1\left(A\right),r_2\left(A\right),c_1\left(A\right),c_2\left(A\right),c_3\left(A\right)\right|$中的最小值。
（1）对如下表 $A$，求 $k\left(A\right)$的值

(2)设数表 $A$形如

其中 $-1\le d\le 0$，求 $k\left(A\right)$的最大值
（3）对所有满足性质P的2行3列的数表 $A$，求 $k\left(A\right)$的最大值。