已知椭圆 $C$： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的一个顶点为 $A$（2,0），离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，直线 $y=k\left(x-1\right)$与椭圆 $C$交于不同的两点 $M,N$。
（1）求椭圆 $C$的方程
（2）当 $△AMN$的面积为 $\frac{\sqrt{10}}{3}$时，求 $k$的值。