2012年全国统一高考文科数学试卷（上海卷）

计算： $\frac{3-i}{1+i}=$（ $i$为虚数单位）.

若集合 $A=\left\{x|2x-1>0\right\},B=\left\{x|\left|x\right|<1\right\}$，则

函数 $f\left(x\right)=\left|\begin{array}{cc}\sin x& 2\\ -1& \cos x\end{array}\right|$的最小正周期是 .

若 $\overline{n}=(2,1)$是直线 $l$的一个方向向量，则 $l$的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.

一个高为 $2$的圆柱，底面周长为 $2p$，该圆柱的表面积为.

方程 $4^x-2^{x+1}-3=0$的解是 .

有一列正方体，棱长组成以1为首项， $\frac{1}{2}$为公比的等比数列，体积分别记为 $V_1,V_2,...,V_n,...$，则 $\underset{n\to \infty }{lim}(V_1+V_2+...+V_n)=$.

在 ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^6$的二项展开式中,常数项等于.

已知 $y=f\left(x\right)$是奇函数. 若 $g\left(x\right)+f\left(x\right)=2$且 $g\left(1\right)=1$，则 $g(-1)$=.

满足约束条件 $\left|x\right|+2\left|y\right|\le 2$的目标函数 $z=y-x$的最小值是.

三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.

在矩形 $ABCD$中,边 $AB,AD$的长分别为2,1.若 $M,N$分别是边 $BC,CD$上的点，且满足 $\frac{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{BM}\right|}{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{BC}\right|}=\frac{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{CN}\right|}{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{CD}\right|}$.则 $\stackrel{\rightharpoonup }{AM}·\stackrel{\rightharpoonup }{AN}$的取值范围是.

已知函数 $y=f\left(x\right)$的图像是折线段 $ABC$，若中 $A(0,0),B(\frac{1}{2},1),C(1,0)$,函数 $y=xf\left(x\right)(0\le x\le 1)$的图像与x轴围成的图形的面积为.

已知 $f\left(x\right)=\frac{1}{1+x}$.各项均为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_1=1,a_{n+2}=f\left(a_n\right)$.若 $a_{2010}=a_{2012}$，则 $a_{20}+a_{11}$的值是.

若 $1+\sqrt{2}i$是关于 $x$的实系数方程 $x^2+bx+c=0$的一个复数根，则（   ）

对于常数 $m$、 $n$，" $mn>0$"是"方程 $m{x}^2+n{y}^2=1$的曲线是椭圆"的（）

在中，若 ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B<{\sin }^{2}C$，则 $∆ABC$的形状是（ ）

若 $S_n=sin\frac{\pi }{7}+sin\frac{2\pi }{7}+...+sin\frac{n\pi }{7}(n\in N^{*})$，则在 $S_1,S_2，\dots ，S_{100}$中，正数的个数是（　　）

如图，在三棱锥 $P-ABC$中， $PA\perp \mathrm{底面}ABC$， $D$是 $PC$的中点.已知 $\angle BAC=\frac{\pi }{2}$， $AB=2$， $AC=2\sqrt{3}$， $PA=2$.求：

（1）三棱锥 $P-ABC$的体积；
（2）异面直线 $BC$与 $AD$所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.

已知函数 $f\left(x\right)=lg\left(x+1\right)$.
（1）若 $0<f\left(1-2x\right)-f\left(x\right)<1$,求 $x$的取值范围；
（2）若 $g\left(x\right)$是以2为周期的偶函数,且当 $0\le x\le 1$时,有 $g\left(x\right)=f\left(x\right)$,求函数 $y=g\left(x\right)\left(x\in \left[1,2\right]\right)$的反函数.

海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为 $y$轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海里 $A$处,如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 $y=\frac{12}{49}{x}^2$；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发 $t$小时后，失事船所在位置的横坐标为 $7t$.

（1）当 $t=0.5$时，写出失事船所在位置 $P$的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

在平面直角坐标系 $xOy$中，已知双曲线 $C:2x^2-y^2=1$.
（1）设 $F$是 $C$的左焦点， $M$是 $C$右支上一点. 若 $\left|MF\right|=2\sqrt{2}$，求过 $M$点的坐标；
（2）过 $C$的左顶点作 $C$的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的
面积；
（3）设斜率为 $k\left(\left|k\right|<\sqrt{2}\right)$的直线 $l$交 $C$于 $P$、 $Q$两点，若 $l$与圆 $x^2+y^2=1$相切，
求证： $OP\perp OQ$；

对于项数为m的有穷数列数集 $\left\{a_n\right\}$，记 $b_k=max\{a_1,a_2,...,a_k\}$（ $k=1,2,...,m$），即 $b_k$为 $a_1,a_2,...,a_k$中的最大值，并称数列 $\left\{b_n\right\}$是 $\left\{a_n\right\}$的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.
（1）若各项均为正整数的数列 $\left\{a_n\right\}$的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的 $\left\{a_n\right\}$；
（2）设 $\left\{b_n\right\}$是 $\left\{a_n\right\}$的控制数列，满足 $a_k+b_{m-k+1}=C$（ $C$为常数， $k=1,2,...,m$）.求证： $b_k=a_k$（ $k=1,2,...,m$）；
（3）设 $m=100$，常数 $a\in (\frac{1}{2},1)$.若 $a_n=a{n}^2-(-1{)}^{\frac{n(n+1)}{2}}n$， $\left\{b_n\right\}$是 $\left\{a_n\right\}$的控制数列，求 $(b_1-a_1)+(b_2-a_2)+...+(b_{100}-a_{100})$.