[江苏]2012届江苏省南通市通州区高三重点热点专项检测数学

已知集合，，若，则锐角    ▲   ．

若 , ，且为 纯 虚 数，则 实 数 的 值为    ▲   ．

某校高三年级学生年龄分布在17岁、18岁、19岁的人数分别为500、400、200，现通过分层抽样从上述学生中抽取一个样本容量为的样本，已知每位学生被抽到的概率都为，则    ▲   ．

．命题p：函数在上单调递增，命题q：中，是的充要条件，则是    ▲   命题．（填“真”“假”）

平面向量与的夹角为，，，则    ▲   ．

执行如图的程序框图，若输出，则整数的最小值是    ▲   ．

．设，若，则实数的取值范围是   ▲   ．

将函数的图像向左平移至少   ▲  个单位，可得一个偶函数的图像．

设函数，若成等差数列（公差不为零），则   ▲  ．

设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a⊥b，a⊥α，bα，则b∥α；   ②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或aα；  ④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β．
其中正确命题的序号有    ▲   ．

在中，，是的平分线，且，则实数的取值范围是    ▲   ．

设函数最大值为，则的最小值为
    ▲   ．

已知， ：与：
交于不同两点，且，则实数的值为▲

已知等比数列满足，，且对任意正整数，仍是该数列中的某一项，则公比的取值集合为    ▲   ．

（本小题满分14分）
已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．

．（本小题满分14分）
已知矩形所在平面，，为线段上一点，为线段 
的中点．（1）当E为PD的中点时，求证：；
（2）当时，求证：BG//平面AEC．

．（本小题满分14分）
某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收 
益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单
位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．现
有两个奖励方案的函数模型：（1）；（2）．试问这两个函数模
型是否符合该公司要求，并说明理由．

．（本小题满分16分）
已知椭圆上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长．（1）求椭圆的方程；
（2）设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；
（3）在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于两点，求的取值
范围．

．（本小题满分16分）
函数，其中为常数．
（1）证明：对任意，函数图像恒过定点；
（2）当时，不等式在上有解，求实数的取值范围；
（3）若对任意时，函数在定义域上恒单调递增，求的最小值．

．（本小题满分16分）
数列中，，，且．
（1）求及的通项公式；
（2）设是中的任意一项，是否存在，使成等比数列？如存在，试分别写出和关于的一个表达式，并给出证明；
（3）证明：对一切，．

选修4—1：矩阵与变换
已知二阶矩阵A有特征值及对应的一个特征向量和特征值及对应
的一个特征向量，试求矩阵A．

．选修4—4：极坐标与参数方程
将参数方程为参数化为普通方程．

．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
由数字1，2，3，4组成五位数，从中任取一个．
（1）求取出的数满足条件：“对任意的正整数，至少存在另一个正整数
，且，使得”的概率；
（2）记为组成该数的相同数字的个数的最大值，求的概率分布列和数学期望．

．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
求证：对于任意的正整数，必可表示成的形式，其中.