【八年级下册】全国重点高中提前招生单元过关（二十）

设 $n$为自然数，且 $a_n=\sqrt[3]{n^2+2n+1}+\sqrt[3]{n^2-1}+\sqrt[3]{n^2-2n+1}$， 则 $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_5}+\cdots +\frac{1}{a_{997}}+\frac{1}{a_{999}}$的值是（ ）

如图所示的是用 $4$个全等的直角三角形与 $1$个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为 $49$，小正方形面积为 $4$，若用 $x\mathrm{，}y$表示直角三角形的两直角边 $\left(x>y\right)$，下列四个等式：① $x^2+y^2=49$；② $x-y=2$；③ $2\mathit{xy}+4=49$；④ $x+y=9$.其中正确的个数有（ ）

若样本 $x_1+1\mathrm{，}{x}_2+1\mathrm{，}\cdots \mathrm{，}{x}_n+1$的平均数为 $10$，方差为 $2$，则对于样本 $x_1+2\mathrm{，}{x}_2+2\mathrm{，}\cdots \mathrm{，}{x}_n+2$，下列结论正确的是（ ）

如图，梯形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}//\mathit{CD}\mathrm{，}O$为 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$的交点， $E$在 $\mathit{AO}$上，且 $\mathit{AE}=\mathit{OC}\mathrm{，}F$在 $\mathit{BO}$上，且 $\mathit{BF}=\mathit{OD}$.则 $△\mathit{AFC}$的面积 $S_1$与 $△\mathit{BED}$的面积 $S_2$的关系为（ ）

如图，直线 $\mathit{PA}$是一次函数 $y=x+n\left(n>0\right)$的图像，直线 $\mathit{PB}$是一次函数 $y=-2x+m\left(m>n\right)$的图像.若 $\mathit{PA}$与 $y$轴交于点 $Q$，且 $S_{\text{四边形}\mathit{PQOB}}=\frac{5}{6}\mathrm{，}\mathit{AB}=2$，则 $\frac{m+2_n}{2m+n}=$（ ）

正方形 $A_1{B}_1{C}_{1}O$，正方形 $A_2{B}_2{C}_2{C}_1$，正方形 $A_3{B}_3{C}_3{C}_2$，…按如图所示的方式放置，点 $A_1\mathrm{，}{A}_2\mathrm{，}{A}_3\mathrm{、}$…和点 $C_1\mathrm{，}{C}_2\mathrm{，}{C}_3\mathrm{，}$…分别在直线 $y=\mathit{kx}+b\left(k>0\right)$和 $x$轴上，已知点 $B_1\left(1,1\right)$， $B_2\left(3\mathrm{，}2\right)$，则点 $A_n$的坐标是（ ）

已知 $x=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$，则 $x^6-2\sqrt{2}{x}^5-x^4+x^3-2\sqrt{3}{x}^2+2x-\sqrt{2}$的值是＿＿＿＿＿.

如图， $\mathit{OM}\perp \mathit{ON}$.已知边长为 $a\left(a>0\right)$的正 $△\mathit{ABC}$，两顶点 $A\mathrm{，}B$分别在射线 $\mathit{OM}\mathrm{，}\mathit{ON}$上滑动，滑动过程中，连接 $\mathit{OC}$，则 $\mathit{OC}$的长的最大值是＿＿＿＿＿.

已知，在平面直角坐标系中，以任意两点 $P\left(x_1\mathrm{，}{y}_1\right)\mathrm{，}Q\left(x_2\mathrm{，}{y}_2\right)$为端点的线段中点坐标为 $\left(\frac{x_1+x_2}{2}\mathrm{，}\frac{y_1+y_2}{2}\right)$.若在直角坐标系中，有 $A\mathrm{（}-1\mathrm{，}2\mathrm{），}B\mathrm{（}3\mathrm{，}1\mathrm{），}C\mathrm{（}1\mathrm{，}$4）三点，另有一点 $D$与点 $A\mathrm{，}B\mathrm{，}C$构成平行四边形的顶点，则点 $D$的坐标为＿＿＿＿＿.

已知 $f\mathrm{（}x\mathrm{）}=\frac{1}{1-x}\left(x\ne 1\right)$，那么 $f\mathrm{（}f\mathrm{（}f\mathrm{（}\cdots f\mathrm{（}2016\cdots \mathrm{））））}=$＿＿＿＿＿.

小燕同学对某地区2012年至2015年快递公司的发展情况作了调查，制成了快递公司个数情况的条形图（如左下图）和快递公司快件传递的年平均数情况条形图（如右下图），那么利用两张图共同提供的信息可知，2015年该地区邮递快件共＿＿＿＿＿万件；这四年中该地区年均邮递快件数＿＿＿＿＿万件.

学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加 $d\mathrm{cm}$，如图所示，已知每个菱形图案的边长为 $10\sqrt{3}\mathrm{cm}$，其中一个内角为 ${60}^{\circ }$.若 $d=26$，则该纹饰要 $231$个菱形图案，则纹饰的长度 $L=$＿＿＿＿＿；当 $d=20$时，若保持前面的纹饰长度不变，则需要这样的菱形图案＿＿＿＿＿个.

设 $x=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\mathrm{，}y=\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\mathrm{，}n$为自然数，如果 $2x^2+197\mathit{xy}+2y^2=1993$成立，求 $n$的值.

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}\mathrm{，}\angle B={90}^{\circ }\mathrm{，}\mathit{AB}=6\sqrt{3}\mathrm{cm}\mathrm{，}\mathit{AD}=18\mathrm{cm}\mathrm{，}\mathit{BC}=24\mathrm{cm}$.点 $P$从点 $A$出发，以 $1\mathrm{cm}/\mathrm{s}$的速度向 $D$点运动；点 $Q$从点 $C$同时出发，以 $3\mathrm{cm}/\mathrm{s}$的速度向点 $B$运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为 $t\left(s\right)$.

（1） $t$为何值时，四边形 $\mathit{ABQP}$是矩形?

（2） $t$为何值时，四边形 $\mathit{PQCD}$是平行四边形?

（3）在其它条件不变的情况下，能否通过改变点 $Q$的运动速度，使得四边形 $\mathit{PQCD}$是菱形?

我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用了价格调控等手段来达到节约用水的目的.某市用水收费的方法是：水费 $=$基本费十超额费十定额损耗费.若每月用水量不超过最低限量 $a{\mathrm{m}}^3$时，只付基本费 $8$元和每月的定额损耗费 $c$元；若用水量超过 $a{\mathrm{m}}^3$时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付 $b$元的超额费.已知每户每月的定额损耗费不超过 $5$元.

（1）当月用水量为 $x{\mathrm{m}}^3$时，支付费用为 $y$元，写出 $y$关于 $x$的函数关系式；

（2）该市一家庭今年一季度的用水量和支付费用见下表，根据表中数据求 $a\mathrm{，}b\mathrm{，}c$.

编号为 $1$到 $25$的 $25$个弹珠被分别放在两个篮子 $A$和 $B$中， $15$号弹珠在篮子 $A$中，把这个弹珠从篮子 $A$移至篮子 $B$中，这时篮子 $A$中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加 $\frac{1}{4}\mathrm{，}B$篮中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加 $\frac{1}{4}$，问原来在篮子 $A$中有多少个弹珠?

在直角坐标系中，有以 $A\left(-1\mathrm{，}-1\right)，B\left(1\mathrm{，}-1\right)，C\left(1\mathrm{，}1\right)，D\left(-1\mathrm{，}1\right)$为顶点的正方形，设它在折线 $y=|x-a|+a$上侧部分的面积为 $S$，求 $S$关于 $a$的函数关系式.