【八年级下册】全国重点高中提前招生单元过关（九）

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的面积为 $256$，点 $E$在 $\mathit{AD}$上，点 $F$在线段 $\mathit{AB}$的延长线上， $\mathit{EC}\perp \mathit{FC}\mathrm{，}△\mathit{CEF}$的面积是 $200$，则线段 $\mathit{BF}$的长是（ ）

如图，边长为 $6$的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 $S_1\mathrm{，}{S}_2$，则 $S_1+S_2$的值为（ ）

如图，以 $\mathrm{Rt}△\mathit{BCA}$的斜边 $\mathit{BC}$为一边在 $△\mathit{BCA}$的同侧作正方形 $\mathit{BCEF}$，设正方形的中心为点 $O$，连接 $\mathit{AO}$，如果 $\mathit{AB}=4\mathrm{，}\mathit{AO}=6\sqrt{2}$，那么线段 $\mathit{AC}$的长等于（ ）

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$中， $P\mathrm{，}Q$分别是 $\mathit{BC}\mathrm{，}\mathit{CD}$上的点，若 $\angle \mathit{PAQ}={45}^{\circ }\mathrm{，}\angle \mathit{BAP}={20}^{\circ }$，则 $\angle \mathit{AQP}=$（ ）

如图，边长为 $1$的正方形 $\mathit{ABCD}$绕点 $A$逆时针旋转 ${30}^{\circ }$到正方形 $A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$，图中阴影部分的面积为（ ）

如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到 $4$个小正方形，称为第一次操作，然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到 $7$个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，共得到 $10$个小正方形，称为第三次操作；…，根据以上操作，若要得到 $2020$个小正方形，则需要操作的次数是（ ）

如图，把一张边长超过 $10$的正方形纸片剪成 $5$个部分，则中间小正方形（阴影部分）的周长为＿＿＿＿＿.

如图，点 $A$在线段 $\mathit{BG}$上，四边形 $\mathit{ABCD}$与四边形 $\mathit{DEFG}$都是正方形，面积分别是 $7$和 $11$，则 $△\mathit{CDE}$的面积为＿＿＿＿＿.

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=\mathit{CD}\mathrm{，}\angle \mathit{ABC}={90}^{\circ }\mathrm{，}\angle \mathit{BCD}={150}^{\circ }$，则 $\angle \mathit{BAD}=$＿＿＿＿＿.

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AB}$上一点， $\mathit{BE}=2\mathrm{，}\mathit{AE}=3\mathit{BE}\mathrm{，}P$是 $\mathit{AC}$上一动点，则 $\mathit{PB}+\mathit{PE}$的最小值是＿＿＿＿＿.

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为 $16\sqrt{2}\text{cm}$，对角线 $\mathit{AC}\mathrm{，}\mathit{BD}$相交于点 $O$，过点 $O$作 $O{D}_1\perp \mathit{AB}$于 $D_1$，过点 $D_1$作 $D_1{D}_2\perp \mathit{BD}$于 $D_2$，过点 $D_2$作 $D_2{D}_3\perp \mathit{AB}$于 $D_3\mathrm{，}$…，依此类推，则其中的 $O{D}_1+D_2{D}_3+D_4{D}_5+D_6{D}_7=$＿＿＿＿＿ $\text{cm}$.

如图， $\mathit{ABCD}$是边长为 $1$的正方形， $\mathit{EFGH}$是内接于 $\mathit{ABCD}$的正方形， $\mathit{AE}=a\mathrm{，}\mathit{AF}=b$，若 $S_{\text{正方形}\text{EFGH}}=\frac{2}{3}$，则 $|b-a|$等于＿＿＿＿＿.

以四边形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{BC}\mathrm{，}\mathit{CD}\mathrm{，}\mathit{DA}$为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 $E\mathrm{，}F\mathrm{，}G\mathrm{，}H$，顺次连接这四个点，得四边形 $\mathit{EFGH}$.

（1）如图①，当四边形 $\mathit{ABCD}$为正方形时，我们发现四边形 $\mathit{EFGH}$是正方形；

如图②，当四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形时，请判断：四边形 $\mathit{EFGH}$的形状（不要求证明）；

（2）如图③，当四边形 $\mathit{ABCD}$为一般平行四边形时，设 $\angle \mathit{ADC}=\alpha \left(0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }\right)$.

①试用含 $\alpha$的代数式表示 $\angle \mathit{HAE}$；

②求证： $\mathit{HE}=\mathit{HG}$；

③四边形 $\mathit{EFGH}$是什么四边形?并说明理由.

如图，将边长为 $12\mathrm{cm}$的正方形 $\mathit{ABCD}$折叠，使得 $A$点落在 $\mathit{CD}$上的 $E$点，然后压平得折痕 $\mathit{FG}$，若 $\mathit{FG}=13\mathrm{cm}$，求线段 $\mathit{CE}$之长.

已知正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{MAN}={45}^{\circ }\mathrm{，}\angle \mathit{MAN}$绕点 $A$顺时针旋转，它的两边分别交 $\mathit{CB}\mathrm{，}\mathit{DC}$（或它们的延长线）于点 $M\mathrm{，}N$.当 $\angle \mathit{MAN}$绕点 $A$旋转得到 $\mathit{BM}=\mathit{DN}$时（如图1），易证 $\mathit{BM}+\mathit{DN}=\mathit{MN}$.

（1）当 $\angle \mathit{MAN}$绕点 $A$旋转到 $\mathit{BM}\ne \mathit{DN}$时（如图2），线段 $\mathit{BM}\mathrm{，}\mathit{DN}$和 $\mathit{MN}$之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明；

（2）当 $\angle \mathit{MAN}$绕点 $A$旋转到如图3的位置时，线段 $\mathit{BM}\mathrm{，}\mathit{DN}$和 $\mathit{MN}$之间又有怎样的数量关系?写出你的猜想，并说明理由.

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为 $a$，点 $E$， $F$， $G$， $H$分别在正方形的四条边上，已知 $\mathit{EF}//\mathit{GH}$， $EF=GH$.

（1）若 $\mathit{AE}=\mathit{AH}=\frac{1}{3}a$，求四边形 $\mathit{EFGH}$的周长和面积；

（2）求四边形 $\mathit{EFGH}$的周长的最小值.