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全国重点高中提前招生真题过关(十六)

图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图②所示的四边形 OABC .若 AB = BC = 1 , AOB = α ,则 O C 2 的值为(

A.

1 sin 2 α + 1

B.

sin 2 α + 1

C.

1 cos 2 α + 1

D.

cos 2 α + 1

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  • 难度:未知

构建几何图形解决代数问题体现了“数形结合”的重要思想.在计算 tan 15 时,如图所示,在 R t ACB 中, C = 90 , ABC = 30 ,延长 CB 使 BD = AB ,连接 AD ,得 D = 15 ,所以 tan 15 = AC CD = 1 2 + 3 = 2 - 3 2 + 3 2 - 3 = 2 - 3 .类比这种方法,计算 tan 22 . 5 的值为(

A.

2 + 1

B.

2 - 1

C.

2

D.

1 2

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如图,在矩形 ABCD 中, AB = 2 , BC = 4 , D 的半径为1.现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心 O 重合,绕着 O 点转动三角板,使它的一条直角边与 D 切于点 H ,此时两直角边与 AD 交于 E , F 两点,则 tan EFO 的值为(

A.

1 2

B.

3 4

C.

4 3

D.

2 3

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在直角 ABC 中, B 为直角, A 的平分线 AD BC 于点 D , BC 边的中点为 E ,且 BD : DE : EC = 1 : 2 : 3 ,则 sin BAC =

A.

2 6 5

B.

4 3 9

C.

2 + 3 4

D.

12 13

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如图,点 A 是双曲线 y = k x 上一点,过 A AB / / x 轴,交直线 y = - x 于点 B ,点 D x 轴上一点,连接 BD 交双曲线于点 C ,连接 AD ,若 BC : CD = 3 : 2 , ABD 的面积为 11 4 , tan ABD = 9 5 ,则 k 的值为(

A.

- 3 4

B.

- 3

C.

- 2

D.

3 4

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ABC 中, a , b , c 分别为角 A , B , C 的对边,若 B = 60 ,则 c a + b + a c + b 的值为

A.

1 2

B.

2 2

C.

1

D.

2

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已知锐角 ABC 中,设 M = sin A + sin B + sin C , N = cos A + cos B + cos C ,则 M , N 的大小关系为(

A.

M > N

B.

M < N

C.

M = N

D.

无法确定

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已知 sin α cos α = 1 8 ,且 0 < α < 45 ,则 cos α - cos α 的值为(

A.

3 2

B.

- 3 2

C.

3 4

D.

- 3 4

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如图, 已知正方形 ABCD 的边长为 1 E AB 边上一点, 以点 D为中心,将 DAE 按逆时针方向旋转得 DCF ,连接 EF ,分别交 BD , CD 于点 M , N .若 AE DN = 2 5 ,则 sin EDM = _____.

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tan α = 3 ,则 sin α cos α - sin 2 α 1 + 3 sin α cos α 的值为_____.

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如图,在菱形 ABCD 中, AE BC , E 为垂足,若 cos B = 4 5 , EC = 2 , P AB 边上的一个动点,则线段 PE 长度的最小值是_____.

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如图,已知 E 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上一动点,正方形 EFGH 的顶点 F , H 分别在边 AD , EC 上,若 AB = 3 , BC = 4 ,则 tan DAG 的值为_____.

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如图,在平行四边形 ABCD 中, AD = 5 , AB = 12 , sin A = 4 5 .过点 D DE AB ,垂足为 E ,则 sin BCE = _____.

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如图,等腰 ABC 中, AC = BC = 10 , AB = 12 ,以 BC 为直径作 O AB 于点 D ,交 AC 于点 G , DF AC ,垂足为 F ,交 CB 的延长线于点 E ,则 sin E = _____.

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已知 ABC 中,满足 1 tan A 2 + 1 tan B 2 = 5 tan C 2 AB = 10 ,则 AC + BC = _____.

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已知 A 为锐角,且 4 sin 2 A - 4 sin A cos A + cos 2 A = 0 ,则 tan A = _____.

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如图,在 Rt ABC 中, A = 90 ,作 BC 的垂直平分线交 AC 于点 D ,延长 AC 至点 E ,使 CE = AB .

(1)若 AE = 1 ,求 ABD 的周长;

(2)若 AD = 1 3 BD ,求 tan ABC 的值.

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如图,已知 ABC 中, D AB 的中点, DC AC , cos DCB = 4 5 ,求 sin A 的值.

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如图, AB O 的直径, C , D O 上两点, C BD 的中点,过点 C AD 的垂线,垂足为 E ,连接 AC BD 于点 F .

(1)求证: CE O 的切线;

(2)若 DC DF = 6 ,求 cos ABD 的值.

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已知 ABC 的一边 AC 为关于 x 的一元二次方程 x 2 + mx + 4 = 0 的两个正整数根之一,且另两边长为 BC = 4 , AB = 6 ,求 cos A 的值.

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ABC 中, a , b , c 分别是 A , B , C 的对边,且 c = 5 3 ,若关于 x 的方程 5 3 + b x 2 + 2 ax + 5 3 - b = 0 有两个相等的实数根,又方程 2 x 2 - 10 sin A x + 5 sin A = 0 的两实数根的平方和为 6 ,求 ABC 的面积.

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如图,在 ABC 中, B = 36 , D BC 上一点, AB = AC = BD = 1 .

(1)求 CD 的长;

(2)利用此图,求 sin 18 的精确值.

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如图,矩形 ABCD 的对角线 AC , BD 相交于点 O ,过点 O OE AC AB 于点 E ,若 BC = 4 , AOE 的面积为 6 ,求 cos BOE 的值.

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