2009年全国统一高考理科数学试卷（福建卷）

函数 $f\left(x\right)=\mathit{sin}x\mathit{cos}x$ 最小值是（ ）

已知全集 $U=R$ ，集合 $A=\left\{x\right|x^2-2x>0\}$ ，则 ${\complement }_{U}A$ 等于（ ）

等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{\begin{array}{c}n\\ \end{array}}$ ，且 $S_3=6$ ， $a_1=4$ ， 则公差 $d$ 等于（ ）

${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(1+\mathit{cos}x)\mathit{dx}$ 等于（ ）

下列函数 $f\left(x\right)$ 中，满足"对任意 $x_1,x_2\in \left(0,+\infty \right)$ ，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$ 的是（ ）

阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）                        

设 $m,n$ 是平面 $\alpha$ 内的两条不同直线， $l_1,l_2$ ，是平面 $\beta$ 内的两条相交直线，则 $\alpha \parallel \beta$ 的一个充分而不必要条件是(   )                             

已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%。现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了20组随机数：

      907    966    191     925     271    932    812    458     569   683

      431    257    393     027     556    488    730    113     537   989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）

设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线， $a\perp c$ ， $\left|a\right|=\left|c\right|$ ,则 $\left|b\cdot c\right|$ 的值一定等于 （ ）                     

函数 $f\left(x\right)=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 的图象关于直线 $x=-\frac{b}{2a}$ 对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程 $m{\left[f\left(x\right)\right]}^2+\mathit{nf}\left(x\right)+p=0$ 的解集都不可能是（ ）

若 $\frac{2}{1-i}=a+\mathit{bi}$（ $i$为虚数单位， $a,b\in R$）则 $a+b=$_________   

某校开展"爱我海西、爱我家乡"摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示。记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算的平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清。若记分员计算无误，则数字 $x$ 应该是___________

过抛物线 $y^2=2\mathit{px}(p>0)$的焦点F作倾斜角为 $45^{\circ }$的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则 $p=$________________.   

若曲线 $f\left(x\right)=a{x}^3+\mathit{ln}x$存在垂直于 $y$轴的切线，则实数 $a$取值范围是_____________.

五位同学围成一圈依序循环报数，规定：

①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；

②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次

已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________.

从集合 $\left\{1,2,3,4,5\right\}$的所有非空子集中，等可能地取出一个。

（1）记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；

（2）记所取出的非空子集的元素个数为 $\xi$，求 $\xi$的分布列和数学期望 $\mathit{E\xi }$

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是边长为 $1$ 的正方形， $\mathit{MD}\perp \mathit{平面}\mathit{ABCD}$ ， $\mathit{NB}\perp \mathit{平面}\mathit{ABCD}$ ，且 $\mathit{MD}=\mathit{NB}=1$ ， $E$ 为 $\mathit{BC}$ 的中点.

（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值

（2）在线段AN上是否存在点S，使得 $\mathit{ES}\perp \mathit{平面}\mathit{AMN}$ ？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由                       

如图，某市拟在长为的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段 $\mathit{OSM}$ ，该曲线段为函数 $y=A\mathit{sin}\omega x\left(A>0,\omega >0\right)$ ， $x\in \left[0,4\right]$ 的图象，且图象的最高点为 $S\left(3,2\sqrt{3}\right)$ ；赛道的后一部分为折线段 $\mathit{MNP}$ ，为保证参赛运动员的安全，限定 $\angle \mathit{MNP}=120°$

（Ⅰ）求A , $\omega$ 的值和M，P两点间的距离；

（Ⅱ）应如何设计，才能使折线段赛道 $\mathit{MNP}$ 最长？                                          

已知A,B 分别为曲线C： $\frac{x^2}{a^2}+y^2=1\left(y\ge 0,a>0\right)$与x轴的左、右两个交点，直线 $l$过点B,且与 $x$轴垂直，S为 $l$上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.

（1）若曲线C为半圆，点T为圆弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{AB}}$的三等分点，试求出点S的坐标；

（2）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在 $a$,使得O,M,S三点共线？若存在，求出 $a$的值，若不存在，请说明理由。               

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+a{x}^2+\mathit{bx}$ ,且 $f\text{'}(-1)=0$                   

(1) 试用含 $a$ 的代数式表示b,并求 $f\left(x\right)$ 的单调区间；

（2）令 $a=-1$ ,设函数 $f\left(x\right)$ 在 $x_1,x_2(x_1<x_2)$ 处取得极值，记点 $M\left(x_1,f\left(x_1\right)\right)$ ， $N\left(x_2,f\left(x_2\right)\right)$ ， $P\left(m,f\left(m\right)\right)$ , $x_1<m<x_2$ ,请仔细观察曲线 $f\left(x\right)$ 在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：

（Ⅰ）若对任意的 $m\in \left(x_1,x_2\right)$ ，线段MP与曲线 $f\left(x\right)$ 均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；

（Ⅱ）若存在点 $Q\left(n,f\left(n\right)\right)$ , $x\le n<m$ ,使得线段 $\mathit{PQ}$ 与曲线 $f\left(x\right)$ 有异于 $P$ 、 $Q$ 的公共点，请直接写出 $m$ 的取值范围（不必给出求解过程）        

（1）已知矩阵 $M\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& -1\end{array}\right)$所对应的线性变换把点 $A\left(x,y\right)$变成点 $A^{\text{'}}\left(13,5\right)$，试求M的逆矩阵及点A的坐标

（2）已知直线 $l:3x+4y-12=0$与 $圆C:\left\{\begin{array}{c}x=-1+2\mathit{cos}\theta \\ y=2+2\mathit{sin}\theta \end{array}\right.\left(\theta \mathit{为参数}\right)$试判断他们的公共点个数

（3）解不等式 $\left|2x-1\right|<\left|x\right|+1$.