2009年全国统一高考理科数学试卷（北京卷）

在复平面内，复数 $z=i(1+2i)$ 对应的点位于（ ）

已知向量 $a,b$ 不共线， $c=\mathit{ka}+b(k\in R),d=a-b$ 如果 $c//d$ ，那么（ ）

为了得到函数 $y=\mathit{lg}\frac{x+3}{10}$ 的图像，只需把函数 $y=\mathit{lg}x$ 的图像上所有的点（ ）

若正四棱柱 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的底面边长为1， $A{B}_1$ 与底面 $\mathit{ABCD}$ 成 $60°$ 角，则 $A_1{C}_1$ 到底面 $\mathit{ABCD}$ 的距离为（ ）

" $\alpha =\frac{\pi }{6}+2\mathit{k\pi }(k\in Z)$ "是" $\mathit{cos}2\alpha =\frac{1}{2}$ "的（ ）

若 $(1+\sqrt{2}{)}^5+a+b\sqrt{2}(a,b$ 为有理数），则 $a+b=$ （ ）

用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）

点 $P$ 在直线 $l:y=x-1$ 上，若存在过 $P$ 的直线交抛物线 $y=x^2$ 于 $A,B$ 两点，且 $|\mathit{PA}=|\mathit{AB}|$ ，则称点 $P$ 为"点"，那么下列结论中正确的是（ ）

$\underset{x\to 1}{\mathit{lim}}\frac{x\sqrt{x}-x}{x-1}=$___________。             

若实数 $x,y$满足 $\left\{\begin{array}{c}x+y-2\ge 0\\ x\le 4\\ y\le 5\end{array}\right.$则 $s=y-x$的最小值为__________。

设 $f\left(x\right)$是偶函数，若曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $(1,f(1\left)\right)$处的切线的斜率为1，则该曲线在点 $(-1,f(-1\left)\right)$处的切线的斜率为______________。

椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{2}=1$ 的焦点为 $F_1,F_2$ ，点 $P$ 在椭圆上，若 $\left|P{F}_1\right|=4$ ，则 $\left|P{F}_2\right|=$ _________； $\angle F_{1}P{F}_2$ 的大小为____________。

若函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{x},\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}x}<0\\ (\frac{1}{3}{)}^x,\mathit{\hspace{0.33em}x}\ge 0\end{array}\right.$ 则不等式 $\left|f\right(x\left)\right|\ge \frac{1}{3}$的解集为____________。

已知数列 $\left\{a_n\right\}$满足： $a_{4n-3}=1,a_{4n-1}=0,a_{2n}=a_n,n\in N^{*},$则 $a_{2009}=$________； $a_{2014}$=____________。             

在 $\mathit{\Delta ABC}$中，角 $A,B,C$的对边分别为 $a,b,c,B=\frac{\pi }{3}$， $\mathit{cos}A=\frac{4}{5},b=\sqrt{3}$。

（Ⅰ）求 $\mathit{sin}C$的值；

（Ⅱ）求 $\Delta \mathit{ABC}$的面积。

如图，在三棱锥 $P-\mathit{ABC}$ 中， $\mathit{PA}\perp$ 底面 $\mathit{ABC},\mathit{PA}=\mathit{AB},\angle \mathit{ABC}=60^{°},\angle \mathit{BCA}=90^{°}$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在棱 $\mathit{PB},\mathit{PC}$ 上，且 $\mathit{DE}//\mathit{BC}$

（Ⅰ）求证： $\mathit{BC}\perp$ 平面 $\mathit{PAC}$ ；

（Ⅱ）当 $D$ 为 $\mathit{PB}$ 的中点时，求 $\mathit{AD}$ 与平面 $\mathit{PAC}$ 所成的角的大小；

（Ⅲ）是否存在点 $E$ 使得二面角 $A-\mathit{DE}-P$ 为直二面角？并说明理由。

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 $\frac{1}{3}$ ，遇到红灯时停留的时间都是2min。

（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；              

（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 $\xi$ 的分布列及期望。

设函数 $f\left(x\right)=x{e}^{\mathit{kx}}(k\ne 0)$

（Ⅰ）求曲线 $y=f\left(x\right)$ 在点 $(0,f(0\left)\right)$ 处的切线方程；

（Ⅱ）求函数 $f\left(x\right)$ 的单调区间；

（Ⅲ）若函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $(-1,1)$ 内单调递增，求 $k$ 的取值范围。              

已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，右准线方程为 $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$

（Ⅰ）求双曲线 $C$ 的方程；

（Ⅱ）设直线 $l$ 是圆 $O:x^2+y^2=2$ 上动点 $P(x_0,y_0)(x_0{y}_0\ne 0)$ 处的切线， $l$ 与双曲线 $C$ 交于不同的两点 $A,B$ ，证明 $\angle \mathit{AOB}$ 的大小为定值。              

已知数集 $A=\{a_1,a_2,\cdots a_n\}(1\le a_1<a_2<\cdots a_n,n\ge 2)$ 具有性质 $P$ ；对任意的 $i,j(1\le i\le j\le n)$ ， $a_i{a}_j$ 与 $\frac{a_j}{a_i}$ 两数中至少有一个属于 $A$ 。

（Ⅰ）分别判断数集 $\{1,3,4\}$ 与 $\{1,2,3,6\}$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；

（Ⅱ）证明： $a_1=1$ ，且 $\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{a_1^{-1}+a_2^{-1}+\cdots +a_n^{-1}}=a_n;$

（Ⅲ）证明：当 $n=5$ 时， $a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5$ 成等比数列。