如图,在三棱锥 P - ABC 中, PA ⊥ 底面 ABC , PA = AB , ∠ ABC = 6 0 ° , ∠ BCA = 9 0 ° ,点 D , E 分别在棱 PB , PC 上,且 DE / / BC
(Ⅰ)求证: BC ⊥ 平面 PAC ;
(Ⅱ)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小;
(Ⅲ)是否存在点 E 使得二面角 A - DE - P 为直二面角?并说明理由。
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),若以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆的极坐标方程为,设是圆上任一点,连结并延长到,使.(Ⅰ)求点轨迹的直角坐标方程;(Ⅱ)若直线与点轨迹相交于两点,点的直角坐标为,求的值.
(本小题满分14分)已知二阶矩阵,若矩阵属于特征值的一个特征向量,属于特征值3的一个特征向量.(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)若向量,计算的值.
(本小题满分14分)已知函数(为自然对数的底数),曲线在处的切线与直线互相垂直.(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)若对任意, 恒成立,求实数的取值范围;(Ⅲ)设 , .问:是否存在正常数,对任意给定的正整数,都有成立?若存在,求的最小值;若不存在,请说明理由.
(本小题满分13分)如图,已知椭圆的离心率为,其左、右顶点分别为.一条不经过原点的直线与该椭圆相交于、两点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若,直线与的斜率分别为.试问:是否存在实数,使得?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
(本小题满分13分)如图,已知是圆的两条互相垂直的直径,直角梯形所在平面与圆所在平面互相垂直,其中,,,,点为线段中点.(Ⅰ)求证:直线平面;(Ⅱ)若点在线段上,且点在平面上的射影为线段的中点,请求出线段的长.