2021年四川省乐山市中考数学试卷（含答案与解析）

如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作 $+2$ 元，支出5元记作 $($ 　　 $)$

在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按"健康、亚健康、不健康"绘制成下列表格，其中测试结果为"健康"的频率是 $($ 　　 $)$

某种商品 $m$ 千克的售价为 $n$ 元，那么这种商品8千克的售价为 $($ 　　 $)$

如图，已知直线 $l_1$ 、 $l_2$ 、 $l_3$ 两两相交，且 $l_1\perp l_3$ ，若 $\alpha =50°$ ，则 $\beta$ 的度数为 $($ 　　 $)$

如图，已知直线 $l_1:y=-2x+4$ 与坐标轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，那么过原点 $O$ 且将 $\mathit{\Delta AOB}$ 的面积平分的直线 $l_2$ 的解析式为 $($ 　　 $)$

如图是由4个相同的小正方体堆成的物体，将它在水平面内顺时针旋转 $90°$ 后，其主视图是 $($ 　　 $)$

七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示 $.19$ 世纪传到国外，被称为"唐图"（意为"来自中国的拼图" $)$ ，图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的"叶问蹬"图，则图中抬起的"腿"（即阴影部分）的面积为 $($ 　　 $)$

如图，已知点 $P$ 是菱形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ 延长线上一点，过点 $P$ 分别作 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{DC}$ 延长线的垂线，垂足分别为点 $E$ 、 $F$ ．若 $\angle \mathit{ABC}=120°$ ， $\mathit{AB}=2$ ，则 $\mathit{PE}-\mathit{PF}$ 的值为 $($ 　　 $)$

如图，已知 $\mathit{OA}=6$ ， $\mathit{OB}=8$ ， $\mathit{BC}=2$ ， $\odot P$ 与 $\mathit{OB}$ 、 $\mathit{AB}$ 均相切，点 $P$ 是线段 $\mathit{AC}$ 与抛物线 $y=a{x}^2$ 的交点，则 $a$ 的值为 $($ 　　 $)$

如图，直线 $l_1$ 与反比例函数 $y=\frac{3}{x}(x>0)$ 的图象相交于 $A$ 、 $B$ 两点，线段 $\mathit{AB}$ 的中点为点 $C$ ，过点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为点 $D$ ．直线 $l_2$ 过原点 $O$ 和点 $C$ ．若直线 $l_2$ 上存在点 $P(m,n)$ ，满足 $\angle \mathit{APB}=\angle \mathit{ADB}$ ，则 $m+n$ 的值为 $($ 　　 $)$

${(2021-\pi )}^0=$　　．

因式分解： $4a^2-9=$　　．

如图是根据甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图．你认为谁的成绩较为稳定？ 　　（填"甲"或"乙" $)$

如图，为了测量"四川大渡河峡谷"石碑的高度，佳佳在点 $C$ 处测得石碑顶 $A$ 点的仰角为 $30°$ ，她朝石碑前行5米到达点 $D$ 处，又测得石碑顶 $A$ 点的仰角为 $60°$ ，那么石碑的高度 $\mathit{AB}$ 的长 $=$ 　　米．（结果保留根号）

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$，有一个锐角为 $60°$， $\mathit{AB}=4$．若点 $P$在直线 $\mathit{AB}$上（不与点 $A$， $B$重合），且 $\angle \mathit{PCB}=30°$，则 $\mathit{CP}$的长为　　．

如图，已知点 $A(4,3)$ ，点 $B$ 为直线 $y=-2$ 上的一动点，点 $C(0,n)$ ， $-2<n<3$ ， $\mathit{AC}\perp \mathit{BC}$ 于点 $C$ ，连接 $\mathit{AB}$ ．若直线 $\mathit{AB}$ 与 $x$ 正半轴所夹的锐角为 $\alpha$ ，那么当 $\sin \alpha$ 的值最大时， $n$ 的值为 　　．

当 $x$取何正整数值时，代数式 $\frac{x+3}{2}$与 $\frac{2x-1}{3}$的值的差大于1．

如图．已知 $\mathit{AB}=\mathit{DC}$ ， $\angle A=\angle D$ ， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{DB}$ 相交于点 $O$ ，求证： $\angle \mathit{OBC}=\angle \mathit{OCB}$ ．

已知 $\frac{A}{x-1}-\frac{B}{2-x}=\frac{2x-6}{(x-1)(x-2)}$，求 $A$、 $B$的值．

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2+x-m=0$．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求 $m$的取值范围；

（2）二次函数 $y=x^2+x-m$的部分图象如图所示，求一元二次方程 $x^2+x-m=0$的解．

某中学全校师生听取了"禁毒"宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬．学校德育处随后决定在全校1000名学生中开展"我为禁毒献爱心"的捐款活动．张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图．

（1）求这组数据的平均数和众数；

（2）经调查，当学生身上的零花钱多于15元时，都愿捐出零花钱的 $20\%$ ，其余学生不参加捐款．请你估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？

（3）捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个"禁毒"知识宣讲小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率．

如图，直线 $l$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点，交反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$ 的图象于 $P$ 、 $Q$ 两点．若 $\mathit{AB}=2\mathit{BP}$ ，且 $\mathit{\Delta AOB}$ 的面积为4．

（1）求 $k$ 的值；

（2）当点 $P$ 的横坐标为 $-1$ 时，求 $\mathit{\Delta POQ}$ 的面积．

通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标 $y$ 随时间 $x$ （分钟）变化的函数图象如图所示，当 $0⩽x<10$ 和 $10⩽x<20$ 时，图象是线段；当 $20⩽x⩽45$ 时，图象是反比例函数的一部分．

（1）求点 $A$ 对应的指标值；

（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．

如图，已知点 $C$ 是以 $\mathit{AB}$ 为直径的半圆上一点， $D$ 是 $\mathit{AB}$ 延长线上一点，过点 $D$ 作 $\mathit{BD}$ 的垂线交 $\mathit{AC}$ 的延长线于点 $E$ ，连结 $\mathit{CD}$ ，且 $\mathit{CD}=\mathit{ED}$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\tan \angle \mathit{DCE}=2$ ， $\mathit{BD}=1$ ，求 $\odot O$ 的半径．

在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $D$ 是 $\mathit{BC}$ 边上一点（不与点 $B$ 、 $C$ 重合），连结 $\mathit{AD}$ ．

（1）如图1，若 $\angle C=60°$ ，点 $D$ 关于直线 $\mathit{AB}$ 的对称点为点 $E$ ，连结 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{DE}$ ，则 $\angle \mathit{BDE}=$ 　　；

（2）若 $\angle C=60°$ ，将线段 $\mathit{AD}$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $60°$ 得到线段 $\mathit{AE}$ ，连结 $\mathit{BE}$ ．

①在图2中补全图形；

②探究 $\mathit{CD}$ 与 $\mathit{BE}$ 的数量关系，并证明；

（3）如图3，若 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{\mathit{AD}}{\mathit{DE}}=k$ ，且 $\angle \mathit{ADE}=\angle C$ ．试探究 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{AC}$ 之间满足的数量关系，并证明．

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象开口向上，且经过点 $A(0,\frac{3}{2})$， $B(2,-\frac{1}{2})$．

（1）求 $b$的值（用含 $a$的代数式表示）；

（2）若二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$在 $1⩽x⩽3$时， $y$的最大值为1，求 $a$的值；

（3）将线段 $\mathit{AB}$向右平移2个单位得到线段 $A\text{'}B\text{'}$．若线段 $A\text{'}B\text{'}$与抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c+4a-1$仅有一个交点，求 $a$的取值范围．