通过实验研究发现:初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化,上课开始时,学生兴趣激增,中间一段时间,学生的兴趣保持平稳状态,随后开始分散.学生注意力指标 y 随时间 x (分钟)变化的函数图象如图所示,当 0 ⩽ x < 10 和 10 ⩽ x < 20 时,图象是线段;当 20 ⩽ x ⩽ 45 时,图象是反比例函数的一部分.
(1)求点 A 对应的指标值;
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟,他能否经过适当的安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标都不低于36?请说明理由.
计算: (1); (2)
若函数满足:在定义域内存在实数,使(k为常数),则称“f(x)关于k可线性分解”. (Ⅰ)函数是否关于1可线性分解?请说明理由; (Ⅱ)已知函数关于可线性分解,求的取值范围; (Ⅲ)证明不等式:.
某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为30元,并且每件产品须向总公司缴纳a元(a为常数,2≤a≤5)的管理费,根据多年的统计经验,预计当每件产品的售价为x元时,产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件,已知每件产品的售价为40元时,该产品一年的销售量为500万件.经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元,最高不超过41元. (Ⅰ)求分公司经营该产品一年的利润L(x)万元与每件产品的售价x元的函数关系式; (Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值. 参考公式:为常数.
已知数列中, (Ⅰ)求证:是等比数列,并求的通项公式; (Ⅱ)数列满足,数列的前n项和为,若不等式对一切恒成立,求的取值范围。
已知中,,,为的中点,分别在线段上的动点,且,交于,把沿折起,如下图所示, (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)当二面角为直二面角时,是否存在点,使得直线与平面所成的角为,若存在求的长,若不存在说明理由。