初中数学相似形综合题解答题

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{ABC}$ 是锐角， $E$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的动点，将射线 $\mathit{AE}$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转，交直线 $\mathit{CD}$ 于点 $F$ ．

（1）当 $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$ ， $\angle \mathit{EAF}=\angle \mathit{ABC}$ 时，

①求证： $\mathit{AE}=\mathit{AF}$ ；

②连结 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{EF}$ ，若 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{BD}}=\frac{2}{5}$ ，求 $\frac{S_{\mathit{\Delta AEF}}}{S_{\mathit{菱形}\mathit{ABCD}}}$ 的值；

（2）当 $\angle \mathit{EAF}=\frac{1}{2}\angle \mathit{BAD}$ 时，延长 $\mathit{BC}$ 交射线 $\mathit{AF}$ 于点 $M$ ，延长 $\mathit{DC}$ 交射线 $\mathit{AE}$ 于点 $N$ ，连结 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{MN}$ ，若 $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{AC}=2$ ，则当 $\mathit{CE}$ 为何值时， $\mathit{\Delta AMN}$ 是等腰三角形．

在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(-\sqrt{73}$ ， $0)$ ，点 $B$ 在直线 $l:y=\frac{3}{8}x$ 上，过点 $B$ 作 $\mathit{AB}$ 的垂线，过原点 $O$ 作直线 $l$ 的垂线，两垂线相交于点 $C$ ．

（1）如图，点 $B$ ， $C$ 分别在第三、二象限内， $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{AO}$ 相交于点 $D$ ．

①若 $\mathit{BA}=\mathit{BO}$ ，求证： $\mathit{CD}=\mathit{CO}$ ．

②若 $\angle \mathit{CBO}=45°$ ，求四边形 $\mathit{ABOC}$ 的面积．

（2）是否存在点 $B$ ，使得以 $A$ ， $B$ ， $C$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BCO}$ 相似？若存在，求 $\mathit{OB}$ 的长；若不存在，请说明理由．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ， $\mathit{AD}=\mathit{CD}$ ， $O$ 是对角线 $\mathit{AC}$ 的中点，联结 $\mathit{BO}$ 并延长交边 $\mathit{CD}$ 或边 $\mathit{AD}$ 于点 $E$ ．

（1）当点 $E$ 在 $\mathit{CD}$ 上，

①求证： $\mathit{\Delta DAC}\backsim \mathit{\Delta OBC}$ ；

②若 $\mathit{BE}\perp \mathit{CD}$ ，求 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{BC}}$ 的值；

（2）若 $\mathit{DE}=2$ ， $\mathit{OE}=3$ ，求 $\mathit{CD}$ 的长．

如图，已知正方形 $\mathit{ABCD}$ ，点 $E$ 是 $\mathit{BC}$ 边上一点，将 $\mathit{\Delta ABE}$ 沿直线 $\mathit{AE}$ 折叠，点 $B$ 落在 $F$ 处，连接 $\mathit{BF}$ 并延长，与 $\angle \mathit{DAF}$ 的平分线相交于点 $H$ ，与 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{CD}$ 分别相交于点 $G$ ， $M$ ，连接 $\mathit{HC}$ ．

（1）求证： $\mathit{AG}=\mathit{GH}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{BE}=1$ ，求点 $D$ 到直线 $\mathit{BH}$ 的距离；

（3）当点 $E$ 在 $\mathit{BC}$ 边上（端点除外）运动时， $\angle \mathit{BHC}$ 的大小是否变化？为什么？

数学课上，有这样一道探究题．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=m$ ， $\mathit{BC}=n$ ， $\angle \mathit{BAC}=\alpha (0°<\alpha <180°)$ ，点 $P$ 为平面内不与点 $A$ 、 $C$ 重合的任意一点，连接 $\mathit{CP}$ ，将线段 $\mathit{CP}$ 绕点 $P$ 顺时针旋转 $a$ ，得线段 $\mathit{PD}$ ，连接 $\mathit{CD}$ 、 $\mathit{AP}$ 点 $E$ 、 $F$ 分别为 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 的中点，设直线 $\mathit{AP}$ 与直线 $\mathit{EF}$ 相交所成的较小角为 $\beta$ ，探究 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{AP}}$ 的值和 $\beta$ 的度数与 $m$ 、 $n$ 、 $a$ 的关系．

请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

（1）填空：

【问题发现】

小明研究了 $\alpha =60°$ 时，如图1，求出了 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}$ 的值和 $\beta$ 的度数分别为 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}=$ 　　， $\beta =$ 　　；

小红研究了 $\alpha =90°$ 时，如图2，求出了 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}$ 的值和 $\beta$ 的度数分别为 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}=$ 　　， $\beta =$ 　　；

【类比探究】

他们又共同研究了 $\alpha =120°$ 时，如图3，也求出了 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}$ 的值和 $\beta$ 的度数；

【归纳总结】

最后他们终于共同探究得出规律： $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}=$ 　　（用含 $m$ 、 $n$ 的式子表示）； $\beta =$ 　　（用含 $\alpha$ 的式子表示）．

（2）求出 $\alpha =120°$ 时 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}$ 的值和 $\beta$ 的度数．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，线段 $\mathit{EF}$ 、 $\mathit{GH}$ 分别平行于 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{AB}$ ，它们相交于点 $P$ ，点 $P_1$ 、 $P_2$ 分别在线段 $\mathit{PF}$ 、 $\mathit{PH}$ 上， $P{P}_1=\mathit{PG}$ ， $P{P}_2=\mathit{PE}$ ，连接 $P_{1}H$ 、 $P_{2}F$ ， $P_{1}H$ 与 $P_{2}F$ 相交于点 $Q$ ．已知 $\mathit{AG}:\mathit{GD}=\mathit{AE}:\mathit{EB}=1:2$ ，设 $\mathit{AG}=a$ ， $\mathit{AE}=b$ ．

（1）四边形 $\mathit{EBHP}$ 的面积 　　四边形 $\mathit{GPFD}$ 的面积（填" $>$ "、" $=$ "或" $<$ " $)$

（2）求证：△ $P_1\mathit{FQ}\backsim$ △ $P_2\mathit{HQ}$ ；

（3）设四边形 $P{P}_{1}Q{P}_2$ 的面积为 $S_1$ ，四边形 $\mathit{CFQH}$ 的面积为 $S_2$ ，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的值．