初中数学图形的剪拼试题

如图，正方形硬纸片 $\mathit{ABCD}$的边长是4，点 $E$、 $F$分别是 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是 $($　　 $)$

A．2B．4C．8D．10

综合实践活动课上，小亮将一张面积为 $24c{m}^2$ ，其中一边 $\mathit{BC}$ 为 $8\mathit{cm}$ 的锐角三角形纸片（如图 $1)$ ，经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形 $\mathit{BCDE}$ （如图 $2)$ ，则矩形的周长为 　　 $\mathit{cm}$ ．

七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示 $.19$ 世纪传到国外，被称为"唐图"（意为"来自中国的拼图" $)$ ，图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的"叶问蹬"图，则图中抬起的"腿"（即阴影部分）的面积为 $($ 　　 $)$

A．

3

B．

$\frac{7}{2}$

C．

2

D．

$\frac{5}{2}$

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是一张平行四边形纸片，其高 $\mathit{AG}=2\mathit{cm}$ ，底边 $\mathit{BC}=6\mathit{cm}$ ， $\angle B=45°$ ，沿虚线 $\mathit{EF}$ 将纸片剪成两个全等的梯形，若 $\angle \mathit{BEF}=30°$ ，则 $\mathit{AF}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

$1\mathit{cm}$

B．

$\frac{\sqrt{6}}{3}\mathit{cm}$

C．

$(2\sqrt{3}-3)\mathit{cm}$

D．

$(2-\sqrt{3})\mathit{cm}$

如图，矩形纸片 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=6$．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是 $($　　 $)$

A．6B．3C．2.5D．2

观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为 $1)$，如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是 $($　　 $)$

A．B．

C．D．

七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为 $4\mathit{cm}$的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品 $--$ “奔跑者”，其中阴影部分的面积为 $5c{m}^2$的是 $($　　 $)$

A．B．

C．D．

问题提出：如何将边长为 $n(n⩾5$，且 $n$为整数）的正方形分割为一些 $1x5$或 $2\times 3$的矩形（ $\mathit{axb}$的矩形指边长分别为 $a$， $b$的矩形）？

问题探究：我们先从简单的问题开始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的问题．

探究一：

如图①，当 $n=5$时，可将正方形分割为五个 $1\times 5$的矩形．

如图②，当 $n=6$时，可将正方形分割为六个 $2\times 3$的矩形．

如图③，当 $n=7$时，可将正方形分割为五个 $1\times 5$的矩形和四个 $2\times 3$的矩形

如图④，当 $n=8$时，可将正方形分割为八个 $1\times 5$的矩形和四个 $2\times 3$的矩形

如图⑤，当 $n=9$时，可将正方形分割为九个 $1\times 5$的矩形和六个 $2\times 3$的矩形

探究二：

当 $n=10$，11，12，13，14时，分别将正方形按下列方式分割：

所以，当 $n=10$，11，12，13，14时，均可将正方形分割为一个 $5\times 5$的正方形、一个 $(n-5)\times (n-5)$的正方形和两个 $5\times (n-5)$的矩形．显然， $5\times 5$的正方形和 $5\times (n-5)$的矩形均可分割为 $1\times 5$的矩形，而 $(n-5)\times (n-5)$的正方形是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割为一些 $1\times 5$或 $2\times 3$的矩形．

探究三：

当 $n=15$，16，17，18，19时，分别将正方形按下列方式分割：

请按照上面的方法，分别画出边长为18，19的正方形分割示意图．

所以，当 $n=15$，16，17，18，19时，均可将正方形分割为一个 $10\times 10$的正方形、一个 $(n-10)\times (n-10)$的正方形和两个 $10\times (n-10)$的矩形．显然， $10\times 10$的正方形和 $10\times (n-10)$的矩形均可分割为 $1x5$的矩形，而 $(n-10)\times (n-10)$的正方形又是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割为一些 $1\times 5$或 $2\times 3$的矩形．

问题解决：如何将边长为 $n(n⩾5$，且 $n$为整数）的正方形分割为一些 $1\times 5$或 $2\times 3$的矩形？请按照上面的方法画出分割示意图，并加以说明．

实际应用：如何将边长为61的正方形分割为一些 $1\times 5$或 $2\times 3$的矩形？（只需按照探究三的方法画出分割示意图即可）

用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为 $a$，小正方形地砖面积为 $b$，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形 $\mathit{ABCD}$．则正方形 $\mathit{ABCD}$的面积为　　．（用含 $a$， $b$的代数式表示）

（1）阅读材料：

教材中的问题，如图1，把5个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形，小明的思考：因为剪拼前后的图形面积相等，且5个小正方形的总面积为5，所以拼成的大正方形边长为　　，故沿虚线 $\mathit{AB}$剪开可拼成大正方形的一边，请在图1中用虚线补全剪拼示意图．

（2）类比解决：

如图2，已知边长为2的正三角形纸板 $\mathit{ABC}$，沿中位线 $\mathit{DE}$剪掉 $\mathit{\Delta ADE}$，请把纸板剩下的部分 $\mathit{DBCE}$剪开，使剪成的若干块能够拼成一个新的正三角形．

①拼成的正三角形边长为　　；

②在图2中用虚线画出一种剪拼示意图．

（3）灵活运用：

如图3，把一边长为 $60\mathit{cm}$的正方形彩纸剪开，用剪成的若干块拼成一个轴对称的风筝，其中 $\angle \mathit{BCD}=90°$，延长 $\mathit{DC}$、 $\mathit{BC}$分别与 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AD}$交于点 $E$、 $F$，点 $E$、 $F$分别为 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AD}$的中点，在线段 $\mathit{AC}$和 $\mathit{EF}$处用轻质钢丝做成十字形风筝龙骨，在图3的正方形中画出一种剪拼示意图，并求出相应轻质钢丝的总长度．（说明：题中的拼接都是不重叠无缝隙无剩余）

如图，在等腰三角形纸片 $\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=10$， $\mathit{BC}=12$，沿底边 $\mathit{BC}$上的高 $\mathit{AD}$剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是　　．

如图是用8块 $A$ 型瓷砖（白色四边形）和8块 $B$ 型瓷砖（黑色三角形）不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，图案中 $A$ 型瓷砖的总面积与 $B$ 型瓷砖的总面积之比为 $($ 　　 $)$

A．

$\sqrt{2}:1$

B．

$3:2$

C．

$\sqrt{3}:1$

D．

$\sqrt{2}:2$

如图所示的图案由三个叶片组成，绕点 $O$ 旋转 $120°$ 后可以和自身重合．若每个叶片的面积为 $4c{m}^2$ ， $\angle \mathit{AOB}$ 为 $120°$ ，则图中阴影部分的面积之和为 　　 $c{m}^2$ ．

如图，等边三角形纸片 $\mathit{ABC}$的边长为6， $E$， $F$是边 $\mathit{BC}$上的三等分点．分别过点 $E$， $F$沿着平行于 $\mathit{BA}$， $\mathit{CA}$方向各剪一刀，则剪下的 $\mathit{\Delta DEF}$的周长是　　．

请用割补法作图，将一个锐角三角形经过一次或两次分割后，重新拼成一个与原三角形面积相等的平行四边形（只要求用一种方法画出图形，把相等的线段作相同的标记）．