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  • 更新 2022-09-04
  • 科目 数学
  • 题型 计算题
  • 难度 中等
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问题提出:如何将边长为 n ( n 5 ,且 n 为整数)的正方形分割为一些 1 x 5 2 × 3 的矩形( axb 的矩形指边长分别为 a b 的矩形)?

问题探究:我们先从简单的问题开始研究解决,再把复杂问题转化为已解决的问题.

探究一:

如图①,当 n = 5 时,可将正方形分割为五个 1 × 5 的矩形.

如图②,当 n = 6 时,可将正方形分割为六个 2 × 3 的矩形.

如图③,当 n = 7 时,可将正方形分割为五个 1 × 5 的矩形和四个 2 × 3 的矩形

如图④,当 n = 8 时,可将正方形分割为八个 1 × 5 的矩形和四个 2 × 3 的矩形

如图⑤,当 n = 9 时,可将正方形分割为九个 1 × 5 的矩形和六个 2 × 3 的矩形

探究二:

n = 10 ,11,12,13,14时,分别将正方形按下列方式分割:

所以,当 n = 10 ,11,12,13,14时,均可将正方形分割为一个 5 × 5 的正方形、一个 ( n - 5 ) × ( n - 5 ) 的正方形和两个 5 × ( n - 5 ) 的矩形.显然, 5 × 5 的正方形和 5 × ( n - 5 ) 的矩形均可分割为 1 × 5 的矩形,而 ( n - 5 ) × ( n - 5 ) 的正方形是边长分别为5,6,7,8,9的正方形,用探究一的方法可分割为一些 1 × 5 2 × 3 的矩形.

探究三:

n = 15 ,16,17,18,19时,分别将正方形按下列方式分割:

请按照上面的方法,分别画出边长为18,19的正方形分割示意图.

所以,当 n = 15 ,16,17,18,19时,均可将正方形分割为一个 10 × 10 的正方形、一个 ( n - 10 ) × ( n - 10 ) 的正方形和两个 10 × ( n - 10 ) 的矩形.显然, 10 × 10 的正方形和 10 × ( n - 10 ) 的矩形均可分割为 1 x 5 的矩形,而 ( n - 10 ) × ( n - 10 ) 的正方形又是边长分别为5,6,7,8,9的正方形,用探究一的方法可分割为一些 1 × 5 2 × 3 的矩形.

问题解决:如何将边长为 n ( n 5 ,且 n 为整数)的正方形分割为一些 1 × 5 2 × 3 的矩形?请按照上面的方法画出分割示意图,并加以说明.

实际应用:如何将边长为61的正方形分割为一些 1 × 5 2 × 3 的矩形?(只需按照探究三的方法画出分割示意图即可)

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问题提出:如何将边长为n(n⩾5,且n为整数)的正方形分割为