初中数学三角形的内切圆与内心试题

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 的内切圆 $\odot O$ 与 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CA}$ 、 $\mathit{AB}$ 分别相切于点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ，且 $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{BC}=13$ ， $\mathit{CA}=12$ ，则阴影部分（即四边形 $\mathit{AEOF})$ 的面积是 $($ 　　 $)$

A．

4

B．

6.25

C．

7.5

D．

9

阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

莱昂哈德欧拉是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在中，和分别为外接圆和内切圆的半径，和分别为其中外心和内心，则．

如图1，和分别是的外接圆和内切圆，与相切分于点，设的半径为，的半径为，外心（三角形三边垂直平分线的交点）与内心（三角形三条角平分线的交点）之间的距离，则有．

下面是该定理的证明过程（部分）

延长交于点，过点作的直径，连接，．

，（同弧所对的圆周角相等）．

．，，①

如图2，在图1（隐去，的基础上作的直径，连接，，，．

是的直径，所以．

与相切于点，所以，

．

（同弧所对的圆周角相等），

，

．

②

任务：（1）观察发现：，　　（用含，的代数式表示）；

（2）请判断和的数量关系，并说明理由．

（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；

（4）应用：若的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的外心与内心之间的距离为　　．

问题提出

（1）如图①，是等边三角形，，若点是的内心，则的长为　　；

问题探究

（2）如图②，在矩形中，，，如果点是边上一点，且，那么边上是否存在一点，使得线段将矩形的面积平分？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）某城市街角有一草坪，草坪是由草地和弦与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于（即每次喷灌时喷灌龙头由转到，然后再转回，这样往复喷灌．同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．

如图③，已测出，，的面积为；过弦的中点作交于点，又测得．

请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

如图，点 $I$ 为 $\mathit{\Delta ABC}$ 的内心， $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{AC}=3$ ， $\mathit{BC}=2$ ，将 $\angle \mathit{ACB}$ 平移使其顶点与 $I$ 重合，则图中阴影部分的周长为 $($ 　　 $)$

A．

4.5

B．

4

C．

3

D．

2

如图，，为中点，点在线段上（不与点，重合），将绕点逆时针旋转后得到扇形，，分别切优弧于点，，且点，在异侧，连接．

（1）求证：；

（2）当时，求的长（结果保留；

（3）若的外心在扇形的内部，求的取值范围．

如图为 $4\times 4$ 的网格图， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $O$ 均在格点上，点 $O$ 是 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{\Delta ACD}$ 的外心

B．

$\mathit{\Delta ABC}$ 的外心

C．

$\mathit{\Delta ACD}$ 的内心

D．

$\mathit{\Delta ABC}$ 的内心

为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（  ）

A．仅有一处

B．有四处

C．有七处

D．有无数处